2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 14:50 


14/11/16
55
Это снова я со своими дурацкими вопросами! :-)


Вот есть одинокая массивная частица. Пусть она покоится. Значит ее энергия $E=mc^2$, ее импульс $\vec{p}=0$. Здорово.

Но, ведь все инерциальные системы равноправны между собой! Значит мы смело можем перейти в другую систему отсчета, в которой частица уже не будет покоиться, а будет двигаться со скоростью $v<c$. А значит перейдя в другую систему отсчета мы разом изменили энергию частицы и импульс частицы:

$E=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$\vec{p}=\dfrac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

В классике воспринимаешь энергию и импульс как... количество денег что ли. Чем больше у тебя денег, тем больше у тебя возможностей. И в классике: чем больше у тебя энергии, тем больше работы ты можешь совершить и т.д. А тут получается что свой баланс можно изменить одним мановением руки. :shock:

В связи с этим становится совсем не очевидно что, какая-либо реакция, например, столкновение двух частиц с рождением двух новых частиц $a + b \to c + d$ пройдет одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Ведь мы можем перейти в такую систему отсчета, что, например, скорость частицы $a$ окажется равной $v=0,999999 \dots \cdot c$ и ее энергия может превысить, пускай, в 2 раза суммарную энергию всей Вселенной! :shock:

Как же показать что несмотря на это, реакция пройдет одинаково во всех инерциальных системах?

Я могу показать только инвариантность $mc^2$. Вот:


Пусть скорость $\vec{u}$ — это скорость частицы в системе K, а скорость $\vec{u}'$ — это скорость частицы в системе K', причем система K' движется в системе K со скоростью $\vec{v}$. Тогда

$\vec{u} = \dfrac{\vec{u}' + \vec{v}}{1+\frac{u' \cdot v}{c^2}} = \dfrac{(\vec{u}' + \vec{v}) c^2}{c^2+u' \cdot v}$.

Пусть $\vec{u}'$ и $\vec{v} соноправлены. Тогда энергия частицы в системе K

$E=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=$
$=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{(u' + v)^2 c^4}{(c^2 + u' v)^2 c^2}}} = \dfrac{mc^2 (c^2 + u' v)}{\sqrt{(c^2 + u' v)^2-(u' + v)^2 c^2}} = $
$\dfrac{mc^2 (c^2 + u' v)}{\sqrt{c^4 + 2 u' v c^2 + (u' v)^2 - (u' c)^2 - 2 u' v c^2 - (v c)^2}}=$
$\dfrac{mc^2 (c^2 + u' v)}{\sqrt{c^4 + (u' v)^2 - (u' c)^2 - (v c)^2}}=$
$=\dfrac{mc^2 (c^2 + u' v)}{\sqrt{c^2 (c^2 - v^2) + (u')^2 (v^2 - c^2)}}=$
$=\dfrac{mc^2 (c^2 + u' v)}{\sqrt{(c^2 - (u')^2)(c^2 - v^2)}}=$
$=\dfrac{mc^2 (1 + \frac{u' v}{c^2})}{\sqrt{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}}$

У импульса аналогично:

$p=\dfrac{mu (1 + \frac{u' v}{c^2})}{\sqrt{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}} = $
$=\dfrac{m \frac{(u' + v) c^2}{c^2+u' \cdot v} (\frac{c^2 + u' v}{c^2})}{\sqrt{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}} = $
$=\dfrac{m (u' + v)}{\sqrt{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}} = $

И наконец:

$E^2-(pc)^2 = \dfrac{(mc^2)^2 (1 + \frac{u' v}{c^2})^2 - (mc)^2 (u' + v)^2}{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}=$
$E^2-(pc)^2 = \dfrac{(mc^2)^2 ( (1 + \frac{u' v}{c^2})^2 - (\frac{u'}{c} + \frac{v}{c})^2 )}{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}=$
$E^2-(pc)^2 = \dfrac{(mc^2)^2 ( 1 + 2\frac{u' v}{c^2} + \frac{(u' v)^2}{c^4} - \frac{(u')^2}{c^2} - 2\frac{u' v}{c^2} - \frac{v^2}{c^2} )}{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}=$
$E^2-(pc)^2 = \dfrac{(mc^2)^2 ( 1 + \frac{(u' v)^2}{c^4} - \frac{(u')^2}{c^2} - \frac{v^2}{c^2} )}{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}=$
$E^2-(pc)^2 = \dfrac{(mc^2)^2 (1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}=(mc^2)^2$

... что и требовалось доказать.


Ну и еще один вопрос: что же такое энергия и импульс, если они себя так странно ведут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 14:58 
Заслуженный участник


29/11/11
4390
Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):
В классике воспринимаешь энергию и импульс как... количество денег что ли. Чем больше у тебя денег, тем больше у тебя возможностей. И в классике: чем больше у тебя энергии, тем больше работы ты можешь совершить и т.д. А тут получается что свой баланс можно изменить одним мановением руки


В смысле "а тут"? В классике точно так же относительно одной исо кинетическая энергия ракеты нулевая а относительно другой огромная, а двигатели относительно одной исо увеличивают ее энергию а относительно другой уменьшают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 14:59 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):
В классике воспринимаешь энергию и импульс как... количество денег что ли. Чем больше у тебя денег, тем больше у тебя возможностей. И в классике: чем больше у тебя энергии, тем больше работы ты можешь совершить и т.д. А тут получается что свой баланс можно изменить одним мановением руки.

В классике энергия и импульс точно так же меняются при переходе в другую ИСО.

Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):
В связи с этим становится совсем не очевидно что, какая-либо реакция, например, столкновение двух частиц с рождением двух новых частиц $a + b \to c + d$ пройдет одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Ведь мы можем перейти в такую систему отсчета, что, например, скорость частицы $a$ окажется равной $v=0,999999 \dots \cdot c$ и ее энергия может превысить, пускай, в 2 раза суммарную энергию всей Вселенной!

Очевидно, что нужно рассматривать энергию в системе центра масс, то есть $\sqrt{E^2-p^2c^2}$, где $E$ и $p$ - суммарные энергия и импульс. Что-то мне это выражение напоминает...
В классике принципиально все точно так же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 15:02 


14/11/16
55
rustot в сообщении #1188580 писал(а):
В смысле "а тут"?

DimaM в сообщении #1188581 писал(а):
В классике принципиально все точно так же.

Ок, скажу так, в классике об этом я не задумывался. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 15:03 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
Собственно - да, в классике энергия и импульс тоже зависят от системы отсчёта. Поэтому остальные "восторги с вычислениями" подробно смотреть не стал. Надо так понимать, что в классике недоумений не возникает. Предлагаю автору переформулировать вопрос ввиду вновь открывшихся обстоятельств.

Т.е. "показать что несмотря на это, реакция пройдет одинаково во всех инерциальных системах" и в случае малых скоростей (с преобразованиями Галилея будет попроще).

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 15:09 


14/11/16
55
Walker_XXI в сообщении #1188585 писал(а):
Предлагаю автору переформулировать вопрос ввиду вновь открывшихся обстоятельств.

Т.е. "показать что несмотря на это, реакция пройдет одинаково во всех инерциальных системах" и в случае малых скоростей (с преобразованиями Галилея будет попроще).

Да вроде ведь и так не плохо: как показать на примере реакции столкновения двух частиц с рождением двух новых частиц $a + b \to c + d$ инвариантность "результата реакции"? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 15:10 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Ultramarine в сообщении #1188584 писал(а):
в классике об этом я не задумывался

Напрасно. Есть хороший "парадокс" на эту тему.
Тело съезжает с наклонной плоскости с высоты $h$ и набирает скорость $v=\sqrt{2gh}$, которую легко вычислить из сохранения энергии ($mgh$ в начале равна $mv^2/2$ в конце).
В СО, движущейся со скоростью $v$, вначале энергия $mgh+mv^2/$, а в конце нуль.

Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):
У импульса аналогично:

Скорость-то тоже нужно преобразованную подставить.

-- 30.01.2017, 19:12 --

Ultramarine в сообщении #1188587 писал(а):
Да вроде ведь и так не плохо: как показать на примере реакции столкновения двух частиц с рождением двух новых частиц $a + b \to c + d$ инвариантность "результата реакции"?

1. Найти, чему равна энергия в системе центра масс.
2. Показать, что эта величина инвариантна относительно ПЛ.
3. ??????
4. PROFIT!!!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 15:12 


14/11/16
55
DimaM в сообщении #1188588 писал(а):
Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):
У импульса аналогично:

Скорость-то тоже нужно преобразованную подставить.

Точно!

А я уж тут решать начал что обманывают будто $mc^2$ инвариант. :-) Сейчас исправлю.

-- 30.01.2017, 17:16 --

DimaM в сообщении #1188588 писал(а):
1. Найти, чему равна энергия в системе центра масс.


Э-э-э... Не то?

$E=\dfrac{mc^2 (1 + \frac{u' v}{c^2})}{\sqrt{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}}$

DimaM в сообщении #1188588 писал(а):
2. Показать, что эта величина инвариантна относительно ПЛ.

Ну так она зависит от $v$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 15:17 
Заслуженный участник


29/11/11
4390
Ultramarine в сообщении #1188584 писал(а):
Ок, скажу так, в классике об этом я не задумывался.


Ну то есть у вас были изначально неверные интуитивные представления "как о количестве денег" и сто не привнесла в это ничего нового.

$E' = \gamma(E- v p_x)$
$p_x' = \gamma(p_x - \frac{v}{c^2} E)$

Вот и подставьте сумму импульсов и сумму энергий двух частиц до и после взаимодействия в одной исо и преобразуйте хоть сразу суммы в другую исо, хоть сначала преобразуйте слагаемые а потом сложите - очевидно что результат будет одним и тем же

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 15:23 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Ultramarine в сообщении #1188590 писал(а):
Э-э-э... Не то?

Не то.
Вы ж про две частицы начали речь, вот пускай у них массы $m_1$ и $m_2$, скорости $v_1$ и $v_2$, для простоты сонаправленные. Чему равна энергия в системе центра масс?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 15:39 


14/11/16
55
rustot в сообщении #1188593 писал(а):
Ultramarine в сообщении #1188584 писал(а):
Ок, скажу так, в классике об этом я не задумывался.

Ну то есть у вас были изначально неверные интуитивные представления "как о количестве денег" и сто не привнесла в это ничего нового.

$E' = \gamma(E- v p_x)$
$p_x' = \gamma(p_x - \frac{v}{c^2} E)$

Вот и подставьте сумму импульсов и сумму энергий двух частиц до и после взаимодействия в одной исо и преобразуйте хоть сразу суммы в другую исо, хоть сначала преобразуйте слагаемые а потом сложите - очевидно что результат будет одним и тем же


DimaM в сообщении #1188597 писал(а):
Вы ж про две частицы начали речь, вот пускай у них массы $m_1$ и $m_2$, скорости $v_1$ и $v_2$, для простоты сонаправленные. Чему равна энергия в системе центра масс?

Все, я впилил что такое "система центра масс". :-) С вашего позволения я не буду больше писать формул, ибо в LaTeX это делать утомительно (в Аду полюбому такое наказание для грешников есть — набирать формулы в LaTeX-е :-) ). Кажется я понял в каком ключе надо писать формулы.

Спасибо, rustot, DimaM. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 16:02 
Заслуженный участник


02/08/11
6874

(Оффтоп)

Ultramarine в сообщении #1188601 писал(а):
в Аду полюбому такое наказание для грешников есть — набирать формулы в LaTeX-е :-)
Только в специальном отделе для тех, кто попал в ад за жалобы, как тяжело набирать формулы в $\LaTeX$. (Для остальных бессмысленно: они просто не поняли бы, что это наказание.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 18:46 


22/06/09
975
Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):
Ведь мы можем перейти в такую систему отсчета, что, например, скорость частицы $a$ окажется равной $v=0,999999 \dots \cdot c$ и ее энергия может превысить, пускай, в 2 раза суммарную энергию всей Вселенной!

А толку-то - всё остальные частицы всей Вселенной тоже увеличат свою кинетическую энергию.
Ultramarine в сообщении #1188587 писал(а):
Да вроде ведь и так не плохо: как показать на примере реакции столкновения двух частиц с рождением двух новых частиц $a + b \to c + d$ инвариантность "результата реакции"?

А как вы рассчитываете результат реакции?

Начните с чего-нибудь попроще, с каких-нибудь идеально упругих столкновений. У нас при столкновении сохраняются энергия и импульс - вот и рассчитывайте, что получится в разных системах отсчёта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про энергию и импульс в СТО
Сообщение30.01.2017, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):
В классике воспринимаешь энергию и импульс как... количество денег что ли. Чем больше у тебя денег, тем больше у тебя возможностей. И в классике: чем больше у тебя энергии, тем больше работы ты можешь совершить и т.д.

Собственно, проблема у вас не с пониманием СТО, а с недостаточным пониманием классики (как и у многих).

В классике, энергия и импульс похожи на "количество денег" по той причине, что у вас всегда есть неподвижная Земля. Огромная и тяжёлая. Стукнувшись об неё (или об прикреплённый к ней предмет), вы можете "конвертировать" кинетическую энергию в другие виды.

Но если Земли нет, то кинетическая энергия перестаёт быть "деньгами". В небесной механике, в механике молекул, приходится работать именно в таких условиях, и надо набраться опыта и привычки к этому.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group