2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рекурентная последовательность
Сообщение28.02.2006, 13:36 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Определим рекурентную последовательность $a(n)$ по формуле:
$ a(n)=x(n-1)-n[\frac{x(n-1)}{n}]=x(n-1)(mod \ n),$
$ x(n)=x(n-1)+a(n).$
1. Доказать, что последовательность $a(n)$ стабилизируется тогда и только тогда, когда $x$ рациональное число.
Далее $x$ рациональное число.
Обозначим через $m=m(x)$ минимальное натуральное число $k$, начиная с которого $b(x)=a(k)=a(k+1)=a(k+2)=...$, а стабильное значение через $b(x)$.
2. Оценить сверху число $m(x)$.
3. Может ли стабильное значение $b(x)$ приниматься до стабилизации?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2006, 05:07 


10/08/05
54
А что такое x - начало последовательности x(n)?
Тогда при стабилизации для $\forall n>m\ \  x(n) = x_0 + b(n+1)$
тогда $b = x_0 + bn - n\left[\frac{x_0+bn}{n}\right] = n\{b\} + x_0-\left[\frac bn\right]$, что невозномжно при $\{b\}>0$, следовательно b целое (и $x_0=b$) т.е. при n>m $x(n)\in{\mathbb Z}$.
Раз $x(n+1)=2x(n)-(n+1)c_{n+1} = (n+1)c_{n+1} + 2a(n)$, то восстановить предыдущее значение x(n) можно двумя способами.
Но при любом восстановлении получаем $x(n) \in{\mathbb Z}[\frac12]$, т.е. $x = \frac{A}{2^k}$

В самом деле для x=1/3 стабилизации не будет:
$$
\begin{array}{ccrcccr}
x(0)&=&\frac 13 && a(1)&=&\frac 13\\
x(1)&=&\frac 23 && a(2)&=&\frac 23\\
x(2)&=&1\frac 13 && a(3)&=&1\frac 13\\
x(3)&=&2\frac 23 && a(4)&=&2\frac 23\\
x(4)&=&5\frac 13 && a(5)&=&\frac 13\\
x(5)&=&5\frac 23 && a(6)&=&5\frac 23\\
...&&...&&...&&...\\
x(2k)&=&z_{2k}\frac 13 && a(2k+1)&=&y_{2k+1}\frac 13\\
x(2k+1)&=&z_{2k+1}\frac 23 && a(2k+2)&=&y_{2k+2}\frac 23\\
...&&...&&...&&...\\
\end{array}
$$

Или я что-то неправильно понял в условии

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекурентная последовательность
Сообщение02.03.2006, 05:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Я полагаю, нас удачно запутали обозначения. Имеется в виду видимо:
$ a_{n} = x_{n-1} - n\lfloor \frac{x_{n-1}}{n}\rfloor = x_{n-1} ({\rm mod} \ n)$, $ x_{n} = x_{n-1} + a_{n}$, $x_0 = x$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2006, 07:40 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Приношу свои извинения. Задача была изначально для натуральных х. Очевидно, что для иррациональных не наступит стабилизации. Для рациональных я не проверяя принял, что через какое то количество шагов образуется целое число. Так что 1 пункт вместо рационального надо поставить число вида дроби, знаменатель которой степень двойки.
Что касается о наступлении стабилизации вы сдвинули нумерацию для последовательности х.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group