2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство инвариантности вектора/тензора
Сообщение26.01.2017, 16:28 


30/05/16
11
Здравствуйте, друзья! =)
Застопорился на одном интересном для меня моменте, верно ли выражение:

$\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}\frac{\partial  \eta^1}{\partial \xi^1} d \xi^1 + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial  \eta^2}{\partial \xi^1} d \xi^1 = 2d \xi^1$ \label{f_1}

На это выражение я набрел из вот каких рассуждений:
Есть две системы координат:
$\xi^i = \xi^i (\eta^1, \eta^2, \eta^3)$
$\eta^i = \eta^i (\xi^1, \xi^2, \xi^3)$

Базис в системе $\xi^i$ обозначим $\mathbf{e_i}$, а в системе $\eta^i$ обозначим $\mathbf{e'_i}$.
Дифференциал вектора в системе $\xi^i$ равен $d\mathbf{r} = d\xi^i \mathbf{e_i}$.

Докажем, что вектор инвариантен в обеих системах координат, т.е. $d\mathbf{r} =d\eta^i \mathbf{e'_i}= d\xi^i \mathbf{e_i}$.

Теперь запишем законы преобразования для компонент:
$d \xi^i = \frac{\partial \xi^i}{\partial \eta^j}d \eta^j $ \label{f_2}
$d \eta^i = \frac{\partial \eta^i}{\partial \xi^j}d \xi^j $ \label{f_3}
и векторов базиса:
$ \mathbf{e'_i} = \mathbf{e_j}\frac{\partial \xi^j}{\partial \eta^i}$ \label{f_4}.

Запишем теперь для размерности $n=2$
$d\mathbf{r} =d\eta^i \mathbf{e'_i}= d\eta^1 \mathbf{e'_1}+ d\eta^2 \mathbf{e'_2} = (\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2) \cdot (\mathbf{e_1}\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}+\mathbf{e_2}\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^1})$$+(\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) 
\cdot (\mathbf{e_1}\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}+\mathbf{e_2}\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^2})=$.

$ =  \mathbf{e_1} (\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2+\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) + $
$ +\mathbf{e_2} (\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2+\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) = $

$ =  \mathbf{e_1} (d \xi^1 +0 \cdot d \xi^2+d \xi^1 +0 \cdot d \xi^2) + $
$ +\mathbf{e_2} (0 \cdot d \xi^1 +d \xi^2+0 \cdot d \xi^1 +d \xi^2)= $

$ = 2 \mathbf{e_1}  d \xi^1  +2\mathbf{e_2} d \xi^2 = 2 d\xi^i \mathbf{e_i}$

Уже очень долго голову ломаю , не могу понять где ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство инвариантности вектора/тензора
Сообщение26.01.2017, 18:09 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
$\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}\frac{\partial  \eta^1}{\partial \xi^1} + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial  \eta^2}{\partial \xi^1} = 1$
- по правилу дифференцирования сложной функции
Или так: производная композиции равна композиции производных.
В одномерном случае - это просто числа, и нет проблем.
Но в многомерном - "производные" - это , фактически, матрицы, и "правило" грит:
Матрица производной композиции отображений равна произведению матриц - производных.
Вы же пытаетесь элемент один-один произведения матриц сосчитать как произведение таких же элементов сомножителей...
НИЗЯ!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство инвариантности вектора/тензора
Сообщение27.01.2017, 07:04 


30/05/16
11
Спасибо за ответ, DeBill. Мне как раз и не понятно, каким образом 1 получается в выражении $\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1} + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1} = 1$.

Буду признателен, если Вы скажете, где посмотреть доказательство этого факта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство инвариантности вектора/тензора
Сообщение27.01.2017, 07:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Берем частную производную $\xi^1$ как функции $\xi^1,\xi^2$ по $\xi^1$. Это $1$.
Затем рассматриваем ту же $\xi^1$ как композицию $f(\eta^1(\xi^1,\xi^2),\eta^2(\xi^1,\xi^2))$, берем производную по $\xi^1$ уже как сложной функции. Должна получиться опять-таки $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство инвариантности вектора/тензора
Сообщение30.01.2017, 08:41 


30/05/16
11
Доброе утро, друзья!
Используя Ваши советы я доказал, но немного по другому:

Рассмотрим первую скобку выражения:
$d\mathbf{r}  = \mathbf{e_1} (\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2+\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) + $
$ +\mathbf{e_2} (\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2+\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^2}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) $

Преобразуем ее следующим образом:
$  (\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2) +(\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2- \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2)+$
$+(\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2)+(\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2-\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2)  =$
$=  \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} (\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1}d \xi^1 +  \frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^2}d \xi^2) + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}(\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1}d \xi^1 +\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^2}d \xi^2) = d \xi^1 $

Ч. т. д.

Но у меня появился еще один вопрос:
Как используя примерно такие же рассуждения получить единичную матрицу при перемножении матрицы прямого и обратного преобразования? То, что написал пианист - конечно здорово, но мне не ясно, зачем представлять $\xi^1$ как функцию $\xi^1,\xi^2$.

Поэтому рассмотрим $a^{i \cdot}_{\cdot j}b^{j \cdot}_{\cdot k}$ при $i=1, j =1$ и будем использовать следующие обозначения, например: $\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} =\frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1} $, где $d_1 \xi^1$ - дифференциал $d\xi^1$ полученный в результате только $d \eta^1$ (т.е. $d \eta^2 = 0$) и $d \eta^1 = d_1 \eta^1+d_2 \eta^1$.

$\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1} + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1} = \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_1 \eta^1+d_2 \eta^1}{d \xi^1}- \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^1}+\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_1\eta^2 + d_2\eta^2}{d\xi^1}-\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^1} = $
$= \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d\eta^1}{d \xi^1}- \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^1}+\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d\eta^2 }{d\xi^1}-\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^1}=$
$= \frac{d_1 \xi^1+d_2 \xi^1}{d \xi^1}- \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^1}-\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^1}= 1 - \frac{d \xi^2}{d \xi^1}(\frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^2} + \frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^2})$.

Но, так как у меня $\xi^1$ и $\xi^2$ независимы, то $\frac{d \xi^2}{d \xi^1}=0$.

Или я не правильно что то сейчас доказал? Меня смущает тот факт, что по идее дифференциалы $d \xi^2$ и $d \xi^1$ можно взять любыми и тогда их отношение не будет равно $0$. А вот если бы сказать что $\frac{\partial \xi^2}{\partial  \xi^1}=0$, то тогда мне всё понятно и этот факт не вызывает сомнений. Но в выводе получились абсолютные дифференциалы $d \xi^2$ и $d \xi^1$, а не частные $\partial$...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group