2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Так сколько схем аксиом в ИВ?
Сообщение29.01.2017, 16:32 


03/06/12
2745
Здравствуйте! Столкнулся с такой ситуацией. В книге Верещагина, Шеня "Языки и исчисления" приводится 11 схем аксиом как здесь. В задачнике же Лаврова, Максимовой приводится всего 10 аксиом, только вместо девятой аксиомы у них аксиома такая: $((A\supset\neg B)\supset(B\supset\neg A))$. То, что аксиомы разные при одинаковом их числе, объяснить можно. А вот почему в разных источниках их разное количество? И на каком наборе аксиом в действительности строится ИВ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так сколько схем аксиом в ИВ?
Сообщение29.01.2017, 16:38 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Очевидно, что системы аксиом у ИВ м.б. разные. Для системы аксиом даже требование независимости не обязательно. Отсюда все и следует.
Кроме того, в Игошине вообще всего 3 аксиомы, причем все 3 есть в каждом из приведенных Вами списков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так сколько схем аксиом в ИВ?
Сообщение29.01.2017, 17:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sinoid
В действительности строится на любом достаточном. :-) Например, если избавиться от всех связок кроме $\neg,\to$, можно использовать две схемы $((\varphi\to\psi)\to\chi) \to (\chi\to\varphi) \to \tau \to\varphi$, $(\neg\varphi\to\neg\psi)\to\psi\to\varphi$ (первая достаточна для вывода любых тавтологий, содержащих только импликацию; Лукасевич, 1948). Не исключено, что можно обойтись даже одной схемой с обеими связками, а так же одной (гигантской) схемой даже для традиционных наборов связок, но этим особо не интересовался.

-- Вс янв 29, 2017 19:15:02 --

А в сторону увеличения числа схем уже Sonic86 сказал. Так что в результате обеих возможностей сокращения (с учётом того, что я не в курсе, как далеко можно зайти, но фундаментальных ограничений этому не видно) и расширения схем может в принципе быть практически сколько угодно.

Кроме того, можно конвертировать схемы аксиом в правила вывода с нулём посылок и обратно. Это уже формализационное читерство, конечно, но возможность обойтись одними правилами вывода — это маленькая приятная деталь для тех, кому интересно, насколько единообразно можно определить систему вывода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так сколько схем аксиом в ИВ?
Сообщение29.01.2017, 18:40 


03/06/12
2745
Так это получается, в принципе, при построении, например, евклидовой геометрии за аксиому можно принять теорему, следующую из других аксиом (ну только лишь бы не было порочных кругов)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так сколько схем аксиом в ИВ?
Сообщение29.01.2017, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Sinoid в сообщении #1188325 писал(а):
при построении, например, евклидовой геометрии за аксиому можно принять теорему, следующую из других аксиом (ну только лишь бы не было порочных кругов)?
Можно. И порочные круги здесь вообще ни при чём. Можете объявлять аксиомами любые утверждения, сформулированные в языке геометрии, лишь бы не возникало противоречий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так сколько схем аксиом в ИВ?
Сообщение29.01.2017, 20:42 


03/06/12
2745
Someone в сообщении #1188335 писал(а):
Можно. И порочные круги здесь вообще ни при чём. Можете объявлять аксиомами любые утверждения, сформулированные в языке геометрии, лишь бы не возникало противоречий.

Да, правда, так более обще. Спасибо всем за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group