Построение образов функций, зная правило построения точки

[Rusit8800]

Пусть некоторое преобразование $f$ переводит точку $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ в точку $\left( {f({x_0}),f({y_0})} \right)$. Можно ли однозначно построить образ прямой $y = kx + b$ или любой другой функции? Мне в частности нужно построить образ некоторой конфигурации при некоторой инверсии,способ построения точек, симметричных относительно окружности известен.

[Brukvalub]

Прямая при инверсии переходит в прямую или в окружность, так что для прямой достаточно найти в образы двух или трех точек. В общем виде - вопрос бессмысленный, ответ зависит от вида преобразования и от "конфигурации", образ которой ищется.

[Rusit8800]

Но неужели нельзя как-то подставить правило $f$ в уравнение некоторой функции?

[arseniiv]

Например, у вас есть инверсия $f(x,y) = (f_x(x),f_y(y)) = (1/x,1/y)$ относительно окружности с центром $(0,0)$ и радиусом 1. Подставляем в уравнение прямой $ax + by = c$:

$$af_x(x) + bf_y(y) = c,\quad \frac ax +\frac by = c,\quad ay + bx = cxy,$$

и дальше надо приводить уравнение кривой второго порядка к каноническому виду.

-- Сб янв 28, 2017 00:38:49 --

Ой, я тут криво как-то написал, сейчас исправлю.

UPD: всё.

-- Сб янв 28, 2017 00:40:48 --

Нет, до сих пор ерунда, формула инверсии неправильная. Но идею вы поняли(?)

-- Сб янв 28, 2017 00:43:42 --

(Правильная формула данной инверсии, разумеется, $f(\mathbf r) = \mathbf r/\lVert\mathbf r\rVert^2$, что в координатах есть $f(x, y) = (x,y)/(x^2 + y^2)$.)