Простая задачка про группу

[wedneses]

Доброго времени суток.
Пытаюсь решить следующую задачу.

Цитата:

Показать, что перестановочные элементы $a, b$ произвольной группы $G$
имеющие взаимно простые порядки $s,t$, порождают в $G$ циклическую подгруппу
порядка $st : \left\langle a, b\right\rangle = \left\langle ab\right\rangle.$

К задаче дано указание, которое у меня не совсем удалось осмыслить.

Цитата:

Указание.
1) Включение $\left\langle ab \right\rangle \subset \left\langle a, b \right\rangle = \{a^i \:b^j | 0 \le i <s, 0 \le j < t\}$ очевидно.
2) Вместе с тем, из НОД$(s, t) = 1 $ следует, что $sv + tu = 1$ для некоторых $u, v \in \mathbb{Z} $.
3) Поэтому $ a= a^{1 - sv} = a^{tv} = a^{tv} b^{tv} = (ab)^{tv} \in \left\langle ab \right\rangle.$ Аналогично, $b \in \left\langle ab \right\rangle $,
4) Стало быть, $\left\langle a, b \right\rangle \in \left\langle ab \right\rangle$.

Итак, с пунктами 2) и 3) я разобрался.
2) - следует из определения НОД.
3) $a^{sv} = e\Rightarrow a^{-sv} = e\Rightarrow a = a a^{-sv} = a^{1 - sv} = a^{tv} = a^{tv}e = a^{tv} b^{tv} = (ab)^{tv}$ - в силу того, что $a, b$ перестановочны. Имеем $a \in \left\langle ab \right\rangle$

Непонятно, почему справедлив 1). К тому же непонятно, знаем ли мы изначально, каково определение $\left\langle ab \right\rangle$ ? Т.е. знаем ли мы, что $\left\langle ab \right\rangle = \{(ab)^{k} | k = 0, 1, \dots, st - 1\}$
С 4) вообще беда, каким образом из $a, b \in \left\langle ab \right\rangle$ следует, что $\left\langle a, b \right\rangle \subset \left\langle ab \right\rangle$

Буду рад любой помощи!
PS. Упражнение из учебника Кострикина (Введение в алгебру 1)

[Slav-27]

А что означает набор символов $\langle a,b \rangle$? В книжке не написано что ли?

[wedneses]

Slav-27
С $\left\langle a, b \right\rangle$ все хорошо, а вот с $\left\langle ab \right\rangle$ немного хуже. Пока не могу понять именно истинность включения в пункте 1), а не формулировку определений.

[mihaild]

wedneses, сформулируйте определение $\langle ab\rangle$, и посмотрите, как оно связано с $\{a^i b^j\}$ с учетом того, что $a$ и $b$ коммутируют.
(у вас кстати в 1) опечатка, должно быть $a^i b^j$ а не $a^{ij}$ - может из-за нее непонятно?)

[DeBill]

wedneses в сообщении #1187517 писал(а):

знаем ли мы изначально, каково определение $\left\langle ab \right\rangle$ ? Т.е. знаем ли мы, что $\left\langle ab \right\rangle = \{(ab)^{k} | k = 0, 1, \dots, st - 1\}$

Т.е., это мы все-таки знаем: ибо, по определению, нечто в угловатых скобочках - это продгруппа, порожденная всякими произведениями того, что внутре скобочек.
С учетом перестановочности 1) выполнено.
3) грит, что и $a$, и $b$ попали в ЭТО. Но тогда и любые их произведения попали в ЭТО...
(Да сделайте попросту: возьмите произведение любых степеней генераторов, и замените их по 3) - получите что надо )
А, опечатку то я и не заметил: видимо, оттуда и все проблемы у ТС

[Cash]

Если отложить все эти туманные определения и рассуждать на пальцах, то конструкция $\langle a,b,c \dots \rangle$ означает максимальную подгруппу, которую можно получить из элементов внутри скобок и групповой операции.
Возможно это поможет вам понять, что пп.1 и 4 в таком свете действительно тривиальны.

[wedneses]

Да, случайно опечатался.

DeBill

Цитата:

(Да сделайте попросту: возьмите произведение любых степеней генераторов, и замените их по 3) - получите что надо )

Вот до этого никак не мог дойти.

Спасибо всем!