Евклидовы отображения

[Alexey Rodionov]

Рассмотрим нормированные пространства $X, Y$ и пространство ограниченных линейных отображений $L(X,Y)$. Оно нормировано естественным образом. Какими должны быть пространства $X, Y$, чтобы $L $ было евклидовым? Конечномерные пространства не исключаются из рассмотрения.

[DeBill]

Alexey Rodionov
Такое ошущение, что одно должно быть одномерным, а другое - евклидовым...
Пример: на плоскости, пусть $A$и $B$ - проекторы на первую и вторую коорд. оси.
Тогда нарушается тождество параллелограмма (я, правда, смотрел только два случая: 1. когда метрика там и там - евклидова 2. отображение из $\mathbb{R} ^2_{\infty}$ в $\mathbb{R}^2_1$).

[Alexey Rodionov]

Для функционалов в гильбертовом пространстве все вроде бы ясно. Все остальное темновато.

[DeBill]

Alexey Rodionov
Ну дык я и говорю: уже для двумерных - там и там - ничего не получается. Вроде.
(И если для двумерных - плохо, то плохо - для всех - кроме тривиальных).
Посмотрите самый общий (двумерный) случай, когда норма задается "по Минковскому" - через симметричные выпуклые множества. Зуб даю: для подходящей пары проекторов $A,B$ неправдой будет
$\left\lVert A+B\right\rVert ^2 + \left\lVert A-B\right\rVert ^2 =2(\left\lVert A\right\rVert ^2 + \left\lVert B\right\rVert ^2)$, что и равносильно неевклидовости...

[Alexey Rodionov]

Не надо зуб.
Норма отображения из $R^2$ в $R^2$ явно выражается через элементы матрицы преобразования. Легко проверяется на примерах, что пространство отбражений не евклидово. Интересно, что для вырожденых (не инъективных ) преобразований норма равна евклидовой норме матрицы. Если так будет всегда, то пространство отображений из $R^3$ в $R^2$ будет евклидовым.
Беда в том, что при попытке явно вычислить норму случился вертикальный паралич кумекательных органов. Хочется чего-то другого.

[Alexey Rodionov]

Вот другое. $T(x_1,x_2,x_3)=(x_2,x_3)$. Норма преобразования 1, а норма матрицы нет. Так что вам сорри за бредовую гипотезу.
А вырожденные преобразования $R^2$ в $R^2$ просто функционалы. Элементарно, Ватсон. Это я сам себе.

Но задача еще не решена полностью даже для конечномерных пространств. Все еще не понятно: может ли быть евклидовым пространство отображений если $X,Y$ евклидовы, конечномерны и $dim Y > 1$ ? И еще: если $X,Y$ не евклидовы, может ли быть евклидовым $L$ ? И бесконечномерные пространства могут озадачить.

[Brukvalub]

Alexey Rodionov в сообщении #1187103 писал(а):

Вот другое. $T(x_1,x_2,x_3)=(x_2,x_3)$. Норма преобразования 1, а норма матрицы нет.

На множестве матриц нет одной, общепринятой нормы, так что цитированное высказывание бессмысленно.

[Alexey Rodionov]

Brukvalub в сообщении #1187111 писал(а):

Alexey Rodionov в сообщении #1187103 писал(а):

Вот другое. $T(x_1,x_2,x_3)=(x_2,x_3)$. Норма преобразования 1, а норма матрицы нет.

На множестве матриц нет одной, общепринятой нормы, так что цитированное высказывание бессмысленно.

Может быть, сообщение 24.01.2017, 00:52 прольет свет и придаст смысл. А пример не так плох, поскольку позволяет ответить отрицательно на Все еще не понятно: может ли быть евклидовым пространство отображений если $X,Y$ евклидовы, конечномерны и $dim Y > 1$ ?

[Brukvalub]

Alexey Rodionov в сообщении #1187116 писал(а):

А пример не так плох, поскольку позволяет ответить отрицательно

Так этот пример выше DeBillуже привел:

DeBill в сообщении #1186982 писал(а):

Зуб даю: для подходящей пары проекторов $A,B$ неправдой будет
$\left\lVert A+B\right\rVert ^2 + \left\lVert A-B\right\rVert ^2 =2(\left\lVert A\right\rVert ^2 + \left\lVert B\right\rVert ^2)$, что и равносильно неевклидовости...

[Alexey Rodionov]

Уже второй ... Надо брать. Может быть, зуб мудрости попадется.

Вроде с конечномерными евклидовыми разобрались. Теперь вот что чешется:

Если $X,Y$ не евклидовы, может ли быть евклидовым $L$ ?

[DeBill]

-- 25.01.2017, 00:32 --

Alexey Rodionov в сообщении #1187124 писал(а):

Если $X,Y$ не евклидовы, может ли быть евклидовым $L$ ?

Нет - по крайней мере, в конечномерный случай:
1.Пусть $Y_1$ - одномерное подпро-во в $Y$. Рассмотрим подпространство $L_1$, состоящее из линейных операторов, действующих в $Y_1$. Оно - евклидово, как подпр-во евклидова пр-ва. Но $Y_1 \approx \mathbb{R}$, так что $L_1 \approx X^{\ast}$. Значит, $X^{\ast}$ - евклидово, так что $X^{\ast \ast}$ также евклидово. Но $X^{\ast \ast} \approx X$. Значит, $X$ - евклидово.
2. Выберем в $X$ единичный вектор $e$, и пусть $X_1$ - его ортогональное дополнение. Тогда $X $ - прямая сумма одномерного, натянутого на $e$, и $X_1$:
каждый $x\in X$ однозначно представим в виде $x=c\cdot e + x_1$, $c \in \mathbb{R}, x_1 \in X_1$, при этом $\left\lVert x \right\rVert \geqslant \left\lvert c\right\rvert$ . Рассмотрим подпространство $L_2$, состоящее из операторов $A$ с ядром $X_1$ (оно - и правда подпространство, и наследует евклидовость из $L$).
Каждый из них имеет вид
$A(c\cdot e +x_1) = c\cdot y$, где $y = Ae$ . Но тогда $\left\lVert A \right\rVert = \left\lVert y \right\rVert$.
Поэтому $L_2 \approx Y$. Значит, $Y$ - евклидово...

[Alexey Rodionov]

Еще чуть-чуть и пойму.

Пусть $Y_1$ - одномерное подпро-во в $Y$. Рассмотрим подпространство $L_1$, состоящее из линейных операторов, действующих в $Y_1$. Оно - евклидово, как подпр-во евклидова пр-ва.

По мне так $L(X,Y)$ это пространство операторов из $X$ в $Y$. В таком случае это жирное о чем? Может быть, следует читать $X$ вместо $Y$ ? И последнее предложение не вкуривается. $L_1$ это $L_1(X_1, Y)$ ? Его составляют сужения опрераторов из $L(X,Y)$ ? И оно подпространство $L(X,Y)$ ? С чего бы это? Извините за столько вопросов. Может быть, я что-то самое главное не уловил.

[DeBill]

Alexey Rodionov
$L_1 = \{A \in L(X,Y) : A(X) \subseteq Y_1\}$
И, на самом деле, да: оно изоморфно $L(X,Y_1)$, если, конечно, на $Y_1$ в качестве нормы мы используем (сужение) норму $Y$

-- 25.01.2017, 01:22 --

$L_2 = \{A \in L(X,Y): X_1 \subseteq \operatorname{Ker} A \}$

-- 25.01.2017, 01:29 --

А идея, если грубо - в том, что пространство линейных операторов - с естественной нормой - содержит подпространства, изоморфные как $X$, так и $Y$ (у матриц есть как строчки, так и столбцы....)

[Alexey Rodionov]

Ну вот. Я же говорил, что самого главного не понял. Хотя можно было. Ясно же сказано: действующих в.
По-моему, очень убедительно . Мало того, еще и для всех полных и рефлексивных $X$ верно. Большое спасибо.