2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Угол между диагоналями четырехугольника
Сообщение23.01.2017, 14:22 


29/07/08
536
DeBill в сообщении #1186594 писал(а):
mihailm
Ну да, вроде, все получится.
Единственное ограничение на существование чет-ка: наибольшая сторона меньше суммы трех других (и тогда под корнем все положительно). Шарнирно деформируя, можем добиться вписанности - и, значит, мах достигается...

Всегда ли при фиксированных сторонах четырехугольника, шарнирно деформируя, можно расположить его вершины на одной окружности?
Для меня это не очевидно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Угол между диагоналями четырехугольника
Сообщение23.01.2017, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Побережный Александр в сообщении #1186806 писал(а):
Всегда ли при фиксированных сторонах четырехугольника, шарнирно деформируя, можно расположить его вершины на одной окружности?
Для меня это не очевидно...
Хм.. странно. Возьмём три стороны поменьше и рассмотрим относительно них предельно возможные конфигурации для четвёртой стороны (относительно окружности, проходящей через 3 точки первых трёх сторон). Разве интуитивно не очевидно, что в одной предельной конфигурации четвёртая точка будет лежать внутри круга, а в другой -- снаружи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Угол между диагоналями четырехугольника
Сообщение23.01.2017, 16:12 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Побережный Александр
Ну, можно попробовать так:
Пусть уже какой-то выпуклый $ABCF$ есть. Будем увеличивать угол $A$, Его косинус будет убывать, а сторона $BF$ - расти. Значит, будет расти угол $C$. Тогда сумма угдов $B$ и $F$ будет убывать, так что хотя бы один из них уменьшится, но тогда и другой - уменьшится (из рассуждений как в начале).Итак, все углы меняются монотонно.
Итак, будем увеличивать $A$, пока чет-к остается выпуклым. Что будет в предельном случае? Либо один из углов станет равен 180 (и это - обязательно $A$ или $C$), либо кто-то станет равен 0 (и это - только $B$ или $F$). В обоих предельных случаях сумма углов $A$ и $C$ будет больше 180.
Аналогично, при уменьшегии угла $A$, в предельном случае эта сумма станет меньше 180.
По непрерывности, будет положение, когда сумма в точности равна 180. Такой - вписанный!

 Профиль  
                  
 
 Re: Угол между диагоналями четырехугольника
Сообщение23.01.2017, 16:18 


29/07/08
536
Спасибо! Все понял. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group