определение вещественного числа

[mihaild]

По шагам.
1. Мы начинаем с $\mathbb{Q}$, определяем там сходимость и фундаментальность (и доказываем, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна).
2. Мы берем класс фундаментальных последовательностей из $\mathbb{Q}$, вводим на нем отношение эквивалентности, определяем арифметику, порядок и сходимость; получившуюся структуру называем $\mathbb{R}$.
3. Вводим определение фундаментальной последовательности из $\mathbb{R}$. Надо доказать, что она сходится к некоторому элементу $\mathbb{R}$.
Первые два шага вам понятны?

Третий делается так: возьмем последовательность $x_1, x_2, \ldots \in \mathbb{R}$. Т.к. вещественные числа - это классы эквивалентности, зафиксируем каких-нибудь представителей [тут внезапно нужна счетная аксиома выбора о_О; но пусть будет]: $x_i = (x_i^1, x_i^2, \ldots)$.
Теперь записываем определение фундаментальности $x_i$ и $x_i^j$ при фиксированном $i$, и из правильно выбранных $x_i^j$ сооружаем фундаментальную последовательность, к которой сходится $x_i$. Если непонятно, как ее строить - запишите вышеупомянутые определения, будем разбираться дальше.

[knizhnik]

[лишнее удалил]

mihaild в сообщении #1150218 писал(а):

берем класс фундаментальных последовательностей из $\mathbb{Q}$, вводим на нем отношение эквивалентности

На чем? На классе? Классы появляются уже после того, как введено отношение эквивалентности.

mihaild в сообщении #1150218 писал(а):

зафиксируем каких-нибудь представителей [тут внезапно нужна счетная аксиома выбора о_О; но пусть будет]: $x_i = (x_i^1, x_i^2, \ldots)$.

А не имеет значения каких именно представителей?

mihaild в сообщении #1150218 писал(а):

из правильно выбранных $x_i^j$ сооружаем фундаментальную последовательность

Из каждого из фиксированных представителей класса берется по одному члену, какому именно?

mihaild в сообщении #1150218 писал(а):

к которой сходится $x_i$.

К которой? К последовательности сходится? Как понять?

mihaild в сообщении #1150218 писал(а):

Если непонятно, как ее строить - запишите вышеупомянутые определения, будем разбираться дальше.

Ничего не понятно, что вы хотите построить и зачем. Давайте разбираться.

[iifat]

knizhnik в сообщении #1150219 писал(а):

по одному члену, какому именно?

По такому, чтобы получающаяся последовательность была фундаментальной. Распишите определения, не ленитесь — сами увидите. На всякий случай, вот мысль, которая позволит чуток упростить: можно взять последовательность $\varepsilon=(\varepsilon_1,\dots\varepsilon_n\dots)$, $\varepsilon_k=\frac1k$ (любую последовательность, монотонно убывающую к нулю) и переписать фундаментальность $\forall k\,\exists n\,\forall p,q\geqslant n\ \left|a_p-a_q\right|<\varepsilon_k$

-- 09.09.2016, 12:34 --

knizhnik в сообщении #1150219 писал(а):

К последовательности сходится? Как понять?

Вы неоднократно забываете: фундаментальная рациональная последовательность — это и есть действительное число. Если уж мы рассматриваем такое определение действительных чисел.

[VAL]

knizhnik в сообщении #1150195 писал(а):

VAL в сообщении #1150112 писал(а):

Нужно выбирать "не совсем по диагонали"

Как же выбирать?

Начало такое же. Каждый элемент исходной последовательности есть класс ФПРЧ. Выберем по одной последовательности из каждого класса.
Дальнейший же выбор будем проводить с учетом фундаментальности этих последовательностей.
Для n-ной последовательности все ее члены, начиная с некоторого номера будут будут отличаться друг от друга менее, чем на $\frac1{2^n}$. В качестве члена результирующей последовательности выберем один из таких элементов.
Вот теперь у нас получится фундаментальная последовательность, определяющая предел исходной последовательности.

Но это при условии, что я опять где-нибудь не наврал

[knizhnik]

Для начала мне необходимо понять еще как выполняются операции над построенными классами. Я думаю, чтобы сложить два класса можно взять из каждого любых двух представителей и складывать их почленно, а результатом считать класс, в котором содержится получившаяся сумма: $\{z_n \mid z_n \sim x_n \}+\{z_n \mid z_n \sim y_n \}=\{z_n \mid z_n \sim (x+y)_n=x_n+y_n\}$. Аналогичную процедуру можно определить для умножения. И если операции определены почленно, то должны выполняться все аксиомы поля, но у меня затруднения с пониманием обратного элемента. За единичный элемент возьмем класс, куда входит последовательность единиц, за нулевой элемент класс с нулями. Тогда аксиома $ (\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e}$ требует, чтобы для ненулевого класса был обратный. Почленно обратить последовательность нельзя, в ней могут быть нули. Что делать?

-- 08.09.2016, 20:18 --

А что еще требуется от сложения и умножения в $\mathbb{R}$, кроме выполнения аксиом поля? Может какие-то еще есть требования?

[VAL]

knizhnik в сообщении #1150225 писал(а):

Тогда аксиома $ (\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e}$ требует, чтобы для ненулевого класса был обратный. Почленно обратить последовательность нельзя, в ней могут быть нули. Что делать?

Если фундаментальная последовательность не сходится к нулю, то, начиная с некоторого номера в ней нет нулей.

Цитата:

А что еще требуется от сложения и умножения в $\mathbb{R}$, кроме выполнения аксиом поля? Может какие-то еще есть требования?

Нужно чтобы эти операции были согласованы с аналогичными в $\mathbb Q$. Чтобы мы могли отождествить рациональные числа с теми классами ФПРЧ, которые имеют своим пределом эти числа.

Аналогично, порядок в $\mathbb R$ должен быть согласован с порядком в $\mathbb Q$.

[mihaild]

knizhnik в сообщении #1150219 писал(а):

На чем? На классе? Классы появляются уже после того, как введено отношение эквивалентности.

Отношение эквивалентности на всех фундаментальных последовательностях.

knizhnik в сообщении #1150219 писал(а):

А не имеет значения каких именно представителей?

Не имеет, но это нужно доказывать (видимо, в момент определения сходимости последовательности вещественных чисел).

knizhnik в сообщении #1150219 писал(а):

Из каждого из фиксированных представителей класса берется по одному члену, какому именно?

Задача и состоит в том, чтобы их выбрать.

knizhnik в сообщении #1150219 писал(а):

К которой? К последовательности сходится? Как понять?

Вот так и понять. Мы должны были определить такую сходимость в п. 2.

knizhnik в сообщении #1150219 писал(а):

Ничего не понятно, что вы хотите построить и зачем. Давайте разбираться.

Давайте. Определение фундаментальной последовательности рациональных чисел вы уже писали. Теперь попробуйте, помня, что вещественные числа - это фундаментальные последовательности, выписать 1) утверждение $x - y < q; x,y \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}$ 2) определение сходимости последовательности вещественых чисел.

knizhnik в сообщении #1150225 писал(а):

можно взять из каждого любых двух представителей и складывать их почленно, а результатом считать класс, в котором содержится получившаяся сумма

Вот тут нужно доказать, что сумма не зависит от выбора представителей.

[knizhnik]

Возвращаясь к старой теме:

mihaild в сообщении #1150240 писал(а):

Вот тут нужно доказать, что сумма не зависит от выбора представителей.

Тут просто предел суммы равен сумме пределов.

[mihaild]

knizhnik в сообщении #1186233 писал(а):

Тут просто предел суммы равен сумме пределов.

В этот момент у нас еще нет такой теоремы. У нас даже нет понятия суммы вещественных чисел.
(да и пределов еще никаких нет - только фундаментальность, и только для последовательностей рациональных чисел)

[SomePupil]

mihaild в сообщении #1186258 писал(а):

У нас даже нет понятия суммы вещественных чисел.

Ээ, а как же сумма рациональных? Мы же, с божьей помощью, научились складывать их в первом классе.

[bot]

SomePupil в сообщении #1186268 писал(а):

Мы же, с божьей помощью, научились складывать их в первом классе.

А теперь разучились. Теперь вещественное (в том числе и рациональное) число является классом фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Мы должны определить операции так, чтобы новое определение не переопределяло то, которому с божьей помощью обучились в начальных классах (с первым это Вы загнули).

[SomePupil]

Начальные классы рулят!

$$A = \{q_n\}, B = \{q'_n\}\in\mathbb R, \\A+B=\{q_n+q'_n\}$$

P.S. Там еще повозиться надо $-$ доказать, что сумма не зависит от делегатов от класса, что она согласована с обычной операцией сложения; доказать теорему о пределе суммы... В общем, ТС придется попотеть.

(Оффтоп)

P.S.S. На самом деле, тут каждый понимает, о чем идет речь. Но привести конкретные доказательства и исчерпать топик топика никто не собирается, потому что: 1) преподам своих дел хватает; 2) остальным мимо проходящим $-$ тоже; 3) ТС $-$ лень; 4) правила есть правила. К тому же, поспорить-то надо $-$ потребность в споре порой занимает почетное место в пирамиде Маслоу...

[ewert]

SomePupil в сообщении #1186274 писал(а):

доказать, что сумма не зависит от делегатов от класса

На самом деле надо доказывать три вещи:

1) что сумма двух фундаментальных последовательностей фундаментальна (практически очевидно);

2) что любые две такие суммы входят в один класс эквивалентности (ещё проще);

3) что любой элемент класса можно представить в виде такой суммы. Здесь уже надо хоть чуть-чуть, но думать. Впрочем, может быть, без этого утверждения можно и обойтись.

SomePupil в сообщении #1186274 писал(а):

что она согласована с обычной операцией сложения

Это можно считать тривиальным, т.к. представителем рационального числа по определению является стационарная последовательность. А вот что действительно требует доказательства (или, во всяком случае, фиксации) -- это выполнение аксиом сложения.

SomePupil в сообщении #1186274 писал(а):

доказать теорему о пределе суммы...

... Какую именно?

Для случая, когда предел рационален, эта теорема уже есть (поскольку понятие фундаментальности -- более позднее, чем понятие сходимости).

А до пределов вещественных чисел ещё далеко. Сначала нужно определить на классах эквивалентности отношение порядка, а заодно уж и умножение; вообще надо сначала разобраться со всеми аксиомами поля и только потом вводить пределы.

Но после того, как предел определён, никакие дальнейшие теоремы о пределах передоказывать уже не нужно. Надо будет доказать лишь одно -- полноту построенного множества вещественных чисел.

[kernel1983]

knizhnik в сообщении #1149995 писал(а):

Комплексное число тоже же дается как формальная сумма вещественной и мнимой части.

Как упорядоченная пара вещественных чисел.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да ладно, задают же алгебры над векторными пространствами таблицами умножения векторов какого-нибудь базиса. Можно взять двумерное вещественное пространство и назвать два его каких-то вектора $1$ и $i$. Пары — это часто удобно, но не всегда необходимо.