2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Движение в метрике Керра
Сообщение18.01.2017, 17:03 


02/11/11
1310
Представим наблюдателя, движущегося по произвольной геодезической в метрике Керра. Свяжем с ним reference frame с тремя ортогональными векторами $\lbrace \mathbf{e_x},\mathbf{e_y},\mathbf{e_z} \rbrace$, образующими правую прямоугольную систему координат. Зададим направление вектора $\mathbf{e_y}$ таким образом, чтобы он совпадал с направлением движения наблюдателя $\mathbf{e_y} \equiv \mathbf{n}$. Вопрос в том, как вычислить направление вектора $\mathbf{n}$ относительно сферического базиса из трех векторов $\lbrace \mathbf{e_{\hat{r}}},\mathbf{e_{\hat{\theta}}},\mathbf{e_{\hat{\phi}}} \rbrace$, которые направлены вдоль координатных линий Бойера-Линдквиста в точке текущего положения наблюдателя? Возможно здесь нужно использовать собственную скорость, определенную в (88.10) ЛЛ2?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение18.01.2017, 18:05 
Заморожен


16/09/15
946
Я наверное не совсем еще компетентен в этом, но все же не понял вопрос.В чем проблема-то?Вычислить направление скорости наблюдателя в координатах Бойера-Линдквиста?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение18.01.2017, 18:29 


02/11/11
1310
Собственную скорость вычислить не проблема. Вопрос в том, будет ли именно эта величина совпадать с направлением движения наблюдателя относительно координатных осей в собственном базисе наблюдателя? Я почти уверен, что будет. Но только почти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение18.01.2017, 18:32 
Заморожен


16/09/15
946
А какая разница - собственная или нет ? Есть направление смещения $dx^a$.

KVV в сообщении #1185682 писал(а):
с направлением движения наблюдателя относительно координатных осей в собственном базисе наблюдателя?

Это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение18.01.2017, 18:44 


02/11/11
1310
Erleker в сообщении #1185683 писал(а):
Это как?

В reference frame, связанном с самим наблюдателем.

Erleker в сообщении #1185683 писал(а):
А какая разница - собственная или нет ?

Большая. Собственная скорость, координантная скорость, пространственные компоненты 4-скорости и т.д. - это все различные величины. Вот какая именно из этих величин задает направление движения наблюдателя в reference frame, связанном с ним самим, мне не очевидно. Потому и спрашиваю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение18.01.2017, 18:51 
Заморожен


16/09/15
946
:facepalm: Направление движения - оно одно.
Какая разница, делить ли $dx^a$ на $ds$ , на $\sqrt{g_{00}}dx^0+g_{0a}dx^a/\sqrt{g_{00}}$ или на $dx^0$?
Все эти вектора направленны одинаково, но модуль разный.
Есть еще скорость по местным прямоугольным координатам, там естественно вектор другой.
Но направлений движения не может быть несколько.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение18.01.2017, 19:33 


02/11/11
1310
Erleker в сообщении #1185689 писал(а):
Направление движения - оно одно.

Одно, конечно. Но не мешайте в одну кучу собственную скорость, которая $\sim\sqrt{dx_\alpha dx^\alpha}$ и координатную, которая $\sim dx^\alpha$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение18.01.2017, 19:44 
Заморожен


16/09/15
946
KVV в сообщении #1185697 писал(а):
Одно, конечно.

Тогда в чем проблема?
KVV в сообщении #1185697 писал(а):
Но не мешайте в одну кучу собственную скорость, которая $\sim\sqrt{dx_\alpha dx^\alpha}$ и координатную, которая $\sim dx^\alpha$.

Я не понимаю, что вы имеете ввиду.
Под "координатной" 3-х мерной скоростью обычно подразумевается $u^a=dx^a/dx^0$
Под "собственной" ( как в ЛЛ) - $\frac{u^a}{(\sqrt{g_{00}}+g_{0a}u^a/\sqrt{g_{00}})}$
Еще вообще "собственной"("физической") называют $v=dl/dT=(-g_{ab}+g_{0a}g_{0b}/g_{00}dx^adx^b)/(\sqrt{g_{00}}dx^0+g_{0a}dx^a/\sqrt{g_{00}})$, ее соответственно можно выразить в локально "прямоугольной" СК $(t,x,y,z)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение20.01.2017, 11:11 


02/11/11
1310
Короче, вы тоже считаете, что направление задает вектор собственной (физической) скорости? Отлично. Тогда такой вопрос - что будет с этим вектором в эргосфере?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение20.01.2017, 18:57 
Заморожен


16/09/15
946
Напрвление задают все скорости, какие вы только придумаете. :-)
Мне непонятно, в чем конкретно вы сомневались(етесь).Возможно, у вас возникла проблема при решении более серьезной задачи/ размышлениях.Тогда изложите все полностью.
По поводу Эргосферы:
Если выбранная СК "нормированна", то есть в данной точке может быть осуществлена реальными частицами, то относительно них всегда можно ввести " физическю" скорость, по синхронизированным на них часам.Это всегда так и в эргосфере это не отменяется, локально ничего особенного там нет.
Если же вы спрашиваете про скорость в жестких координатах, то она естественно теряет физический смысл, но может использована для ЗСЭ ( там правда уже это не энергия :)), об этом в ЛЛ где-то было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение20.01.2017, 19:43 


02/11/11
1310
Спасибо, но это все мне известно. : )
Вы лучше подскажите, какой вектор будет указывать направление движения наблюдателя в эргосфере относительно координатных осей, если вектор собственной скорости там теряет смысл? Ведь очевидно, что какой-то должен быть - движение ведь есть, локально никаких проблем плюс координаты Бойера-Линдквиста покрывают эту область вплоть до горизонта. : )

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение20.01.2017, 20:32 
Заморожен


16/09/15
946
Направление движения в 3-х мерном пространстве жестких координат в эргосфере?Так такого для данных координат не существует, когда они не нормированны( нельзя разделить на время и прострнатсво).Да и не нужно, можно просто пользовать 4-мя координатами и ничего "фихического" не прижумывать.
А если хочется, то выбрать другую СК.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение24.01.2017, 17:29 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
KVV, пусть $u^{\mu}$ -- четырёхскорость некоторого континуума наблюдателей:
$$
\quad g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} = 1 \eqno(1)
$$ Векторное поле $u^{\mu}$ можно взять в качестве времени-подобного орта контравариантной тетрады $e_{(0)}^{\mu} = u^{\mu}$. Три оставшихся орта контравариантной тетрады $e_{(1)}^{\mu}$, $e_{(2)}^{\mu}$, $e_{(3)}^{\mu}$ можно выбрать совершенно произвольно лишь бы только удовлетворялись следующие соотношения:
$$
g_{\mu \nu} e_{(a)}^{\mu} e_{(b)}^{\nu} = \eta_{(a) (b)}, \quad
\eta^{(a)(b)} e_{(a)}^{\mu} e_{(b)}^{\nu} = g^{\mu \nu} \eqno(2)
$$Ковариантная тетрада $e^{(a)}_{\mu}$ сопряжена с контравариантной $e_{(a)}^{\mu}$:
$$
e^{(a)}_{\mu} e_{(a)}^{\nu} = \delta^{\nu}_{\mu}, \quad
e^{(a)}_{\mu} e_{(b)}^{\mu} = \delta^{(a)}_{(b)}. \eqno(3)
$$Тетрада задаёт систему отсчёта. Пусть теперь некое тело движется по некоторой времени-подобной кривой $x^{\mu}(s)$, тогда компоненты трёхмерной скорости этого тела $v^{(1)}$, $v^{(2)}$, $v^{(3)}$ относительно системы отсчёта $e^{(a)}_{\mu}$ таковы:
$$v^{(1)} = \frac{ e^{(1)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }{  e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds}  }, \quad
v^{(2)} = \frac{ e^{(2)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }{  e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds}  }, \quad
v^{(3)} = \frac{ e^{(3)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }{  e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds}  }, \eqno(4)$$
$$
|v| = \sqrt{ \left( v^{(1)} \right)^2 + \left( v^{(2)} \right)^2 + \left( v^{(3)} \right)^2 } =
\sqrt{1 - \frac{g_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{ds} \frac{dx^{\nu}}{ds} }{  \left( e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds}  \right)^2  } } \eqno(5)
$$
Искомый Вами единичный трёхмерный вектор $\mathbf{n}$ в системе отсчёта $e^{(a)}_{\mu}$ имеет следующие компоненты:
$$
\mathbf{n} = \frac{1}{|v|} \left\{  v^{(1)}, v^{(2)}, v^{(3)} \right\} \eqno(6)
$$ Два других единичных трёхмерных вектора $\mathbf{e_x}$ и $\mathbf{e_z}$ можно выбрать совершенно произвольно лишь бы они были (евклидово) ортогональны друг к другу и к $\mathbf{n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение24.01.2017, 18:34 
Заморожен


16/09/15
946
SergeyGubanov Вы, в силу своего высокого уровня, очень часто (как я заметил), используете "тетрады".Лично я ( не знаю, как ТC), о них не имею практически никаких представлений, кроме одного параграфа из ЛЛ . Зачем, позвольте, они понадобились сейчас?
Насколько я понимаю, вы просто построили метрический тензор какой-то нормированной СК по тетрадам, далее просто записали скорость опять же через тетрады (для локального времени этой СО $dT$ и пространства (выразив 4 галилеевы координаты с заданным направлением для временной через тетрады)) и получили квадрат для скорости как $dl^2/dT^2=(c^2dT^2-ds^2)/dT^2$ (5), так?

Тогда вопрос: в чем смысл оформлять это таким сложным образом, если $(6)$ и так очевидно и определение скорости известно?

Можно же перейти к нужно направленной локальной прямоугольной СК без тетрад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в метрике Керра
Сообщение25.01.2017, 12:17 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Erleker, Вы говорите про системы отсчёта в которых бесконечно малый интервал времени является полным дифференциалом:
$$
\tau = dT, \qquad dT \equiv \frac{\partial T}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu}.
$$
Однако, существуют (и их подавляющее большинство) системы отсчёта, в которых бесконечно малый интервал времени полным дифференциалом не является, а является дифференциальной формой:
$$
\tau = e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu}.
$$При этом $$
e^{(0)}_{\mu} \ne \frac{\partial T}{\partial x^{\mu}}, \qquad
\frac{\partial e^{(0)}_{\mu}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial e^{(0)}_{\nu}}{\partial x^{\mu}} \ne 0.
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group