2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Жидкая" планета
Сообщение17.01.2017, 10:10 


05/02/11
971
Москва
Планета без атмосферы, вращается вокруг оси с угловой скоростью $\Omega$.
Её твёрдая поверхность соответствует той, которая была бы у жидкого вращающегося тела - как обычно и бывает у достаточно больших планет.
Шайба малых размеров в данный момент находится на поверхности планеты в некоторой точке $\mathbf r_0$ в приполярной области.
В инерциальной СО, связанной с осью, шайба имеет малую горизонтальную (касательную к поверхности) скорость $\mathbf v_0$.
Трения нет. Описать дальнейшее движение шайбы.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Жидкая" планета
Сообщение17.01.2017, 10:25 


27/08/16
1077
Забавно, что из простейших рассуждений следует, что в системе отсчёта Земли тело должно двигаться по окружности, а в ИСО - по эллипсу, в фокусе которого расположен географический полюс.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Жидкая" планета
Сообщение17.01.2017, 10:31 


05/02/11
971
Москва
Задача возникла из наших обсуждений.
Тело должно было бы "двигаться по окружности" по планете, имеющей форму идеального шара.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Жидкая" планета
Сообщение17.01.2017, 10:54 


27/08/16
1077
Нет, я наврал про эллипс. Потенциал центробежной силы пропорционален квадрату радиуса, а не обратно пропорционален радиусу.

В системе отсчёте Земли это будет движение по окружности с постоянной скоростью с периодом 12 часов, центр которой медленно прецессирует вокруг полюса. Поправка к постоянной корриолисовой силе порядка $(r/R)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: "Жидкая" планета
Сообщение17.01.2017, 17:43 


05/02/11
971
Москва
Подсказка: потенциальная энергия растянутой пружины - тоже квадратичная функция деформации.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Жидкая" планета
Сообщение17.01.2017, 19:36 


27/08/16
1077
Вот смотрите. В системе отсчёта Земли центробежная сила полностью скомпенсирована формой поверхности Земли, чтобы находившееся в покое на льду тело оставалось в покое и далее. Следовательно, во вращающейся системе отсчёта остаётся ненулевой только сила Корриолиса. Которая перпендикулярна скорости, так что, кинетическая энергия тела сохраняется, вместе с его скоростью. Так что, если пренебречь изменением широты, то ускорение Корриолиса постоянно и направлено перпендикулярно вектору скорости, являясь центростремительным ускорением для движения по окружности с периодом 12 часов. А в ИСО, как вы правильно заметили, это будет эллипс с центром на полюсе с периодом 24 часа - два независимых гармонических колебания по двум произвольным ортогональным осям.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Жидкая" планета
Сообщение17.01.2017, 21:10 


05/02/11
971
Москва
В отсутствие сил трения я вообще не вижу особого смысла в рассмотрении сил Кориолиса: тогда уже безразлично, вращается планета или нет.
Но зато важно другое: её вращение создаёт приповерхностное гравитационное поле, притягивающее любое скользящее тело к полюсу.
Именно это поле и делает возможными колебания тел (в ИСО они квазигармонические вблизи оси, траектория эллиптическая).
С тем же периодом, с которым вращается планета.
А во вращающейся СО тоже интересно.. В приполярной области скользящее тело в ней описывает квазизамкнутую траекторию.
Если не ошибаюсь (хорошо бы это проверить), то с периодом, вдвое меньшим(!).
Если тело первоначально в ИСО было неподвижно, то траектория имеет вид окружности, проходящей через полюс, а скорость прохождения тела по ней остаётся неизменной.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Жидкая" планета
Сообщение18.01.2017, 02:57 


27/08/16
1077
dovlato в сообщении #1185516 писал(а):
В отсутствие сил трения я вообще не вижу особого смысла в рассмотрении сил Кориолиса:
Как это? В ИСО её, конечно, нет, но в системе отсчёта Земли она - единственная оставшаяся сила, к тому же, перпендикулярная скорости и сохраняющая модуль скорости. Она ещё умножается на синус широты, если широта высокая, то период движения по окружности близок к 12 часам, как легко увидеть. Ну и разложив широту в окрестности центра движения в ряд Тейлора можно найти поправки к периоду в зависимости от широты и радиуса этой окружности и скорость дрейфа. Или даже точно проинтегрировать. Понятно что для малой $v$ скорость дрейфа центра окружности в системе Земли будет нулевой, но период равен $\frac{12 \text{часов}}{\sin \theta_0}$. Перейдя с этой окружностью в ИСО можно получить и искомую квазизамкнутую траекторию в первом приближении по $v$ и $\theta_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Жидкая" планета
Сообщение18.01.2017, 11:26 


05/02/11
971
Москва
Я же не говорю, что сила Кориолиса "не существует". Но в отсутствие трения естественно рассматривать движение в ИСО. Проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Жидкая" планета
Сообщение18.01.2017, 12:24 


27/08/16
1077
dovlato в сообщении #1185601 писал(а):
Я же не говорю, что сила Кориолиса "не существует". Но в отсутствие трения естественно рассматривать движение в ИСО. Проще.
Не совсем. Если скорость мала, а расстояние до полюса достаточно велико, то в системе Земли это будет движение по малой окружность с периодом, отличным от 12 часов, а в ИСО это будет негармоническое незамкнутое движение вокруг центра почти вблизи этого радиуса и со скорость почти равной скорости вращения Земли, так как возвращающий потенциал будет уже неквадратичным. В ИСО движение оказывается гораздо более сложным. Движение по малой окружности можно рассматривать на плоскости, и широта влияет только на силу Кориолиса, а в ИСО нужно учитывать сферичность Земли.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Жидкая" планета
Сообщение18.01.2017, 19:13 


09/10/15
1053
San Jose, USA
В отсутствие трения и в предположении что планета -тело вращения, наша шайба не знает что планета крутится. Планета просто прокручивается под шайбой.
Движение проще рассматривать в ИСО.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Жидкая" планета
Сообщение18.01.2017, 21:02 


05/02/11
971
Москва
Мне тоже так кажется. И наоборот, при наличии трения проще описание во вращающейся СО.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group