2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение17.01.2017, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Начал читать Энгелькинга (с. 561) про разные определения размерности и запнулся.
Сначала он вводит размерность $\operatorname {ind}$ (все остальные размерности введет потом), и вводит ее индуктивно:
1. $\operatorname {ind} X = -1 \Leftrightarrow X = \varnothing$. Ладно, с этим можно смириться. Видимо, мы хотим, чтобы размерность одноточечного множества была нулевой, а пустого еще меньше.
2. $\operatorname {ind} X \leqslant n$, если для каждой точки $x \in X$ и каждой ее окрестности $V$ найдется открытое $U$ такое, что $x \in U \subset V$ и $\operatorname {ind} \operatorname {Fr} U \leqslant n - 1$.
На этом пункте мозг сломался. Ладно, требование "множество имеет границу меньшей размерности" как-то приятно глазу. Но почему именно такое множество? Почему не любое открытое (жесткий вариант)? Почему не удовольствоваться тем, чтобы у каждой точки нашлась окрестность с такой границей (мягкий вариант)? Почему именно так - не требуя этого от каждой окрестности, но находя такую окрестность внутри каждой? Чего мы, собственно, добиться хотим? Где переход от интуитивно ясного понятия размерности $\mathbb R^n$?

Энгелькинг, как обычно, до объяснений не опускается. Куратовский про размерность $\operatorname {ind}$ ничего говорит, только про $\operatorname {dim}$. Келли и Виро о размерности вообще не заикаются. Пробовал гуглить на обоих языках. Ничего не нагуглил. Что бы мне прочитать, чтобы понять, откуда тут что берется? Желательно на русском все-таки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение17.01.2017, 18:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Anton_Peplov
В ру-Вики про Теорию Размерности в списке литературы есть В.Гуревич, Г.Волмэн. Там изложение основано как раз на индуктивном определении. Посмотрите, если ещё не. Там, похоже, как раз с упором на понимание, с большим количеством примеров.
В de-вики про Индуктивную Размерность лучше чем в других поясняется мотивация и различия между определениями. Я немецким совсем не владею, но гугл-переводчик даёт сколько-то понятную абракадабру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение17.01.2017, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Anton_Peplov в сообщении #1185458 писал(а):
Почему не любое открытое (жесткий вариант)?
Потому что у некоторых открытых множеств граница может оказаться размерности $n$.

Anton_Peplov в сообщении #1185458 писал(а):
Почему не удовольствоваться тем, чтобы у каждой точки нашлась окрестность с такой границей (мягкий вариант)?
Потому что у некоторых окрестностей граница может оказаться слишком маленькой размерности.

Anton_Peplov в сообщении #1185458 писал(а):
Где переход от интуитивно ясного понятия размерности $\mathbb R^n$?
Ну, это должно быть некоторой теоремой.

Вообще, попробуйте мыслить не окрестностями, а перегородками: $\operatorname{ind}X\leqslant n$, если для каждой точки $x\in X$ и каждого не содержащего её замкнутого множества $F\subset X$ между ними найдётся перегородка $\Phi\subset X$ размерности $\operatorname{ind}\Phi\leqslant n-1$.

Замкнутое множество $\Phi\subseteq X$ называется перегородкой между множествами $A\subseteq X$ и $B\subseteq X$, если существуют такие открытые множества $U\subseteq X$ и $V\subseteq X$, что выполняются следующие условия:
1) $U\cap V=\varnothing$,
2) $U\cup V=X\setminus\Phi$,
3) $A\subseteq U$ и $B\subseteq V$.

Легко доказать, что эта формулировка равносильна второму пункту у Энгелькинга.

Аналогично можно переформулировать и определени большой индуктивной размерности.

П. С. Александров, Б. А. Пасынков. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. "Наука", Москва, 1973.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение17.01.2017, 20:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Спасибо. Теперь многое стало ясным.

Терминология, использованная Гуревичем и Волмэном, подсказала важное обстоятельство. Требование "внутри каждой окрестности $V$ точки $p$ найдется окрестность $U$ такая, что..." является обобщением на язык общей топологии метрического выражения "существует сколь угодно малая окрестность точки $p$ такая, что...". Оно проясняет и некоторые другие определения у того же Энгелькинга (например, локальной связности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение18.01.2017, 14:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Гуревич и Волмэн, судя по определению, ведут речь о размерности $\operatorname {ind}$, но обозначают ее $\operatorname {dim}$. Это нормально?

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение18.01.2017, 14:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Anton_Peplov в сообщении #1185632 писал(а):
Это нормально?
Нет, потому что $\dim$ — другая размерность. Впрочем, для метризуемых пространств со счётной базой $\operatorname{ind}=\operatorname{Ind}=\dim$.

-- Ср янв 18, 2017 15:15:30 --

Для метризуемых пространств несчётного веса доказано, что $\operatorname{ind}\leqslant\dim=\operatorname{Ind}$, и известен пример, когда $\operatorname{ind}<\dim$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение03.05.2020, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Не прошло и четырёх лет, как я снова начал изучать математику и вернулся к вопросу о размерностях. Пожалуйста, не спрашивайте, почему так долго. Не моя вина.

Someone в сообщении #1185477 писал(а):
П. С. Александров, Б. А. Пасынков. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. "Наука", Москва, 1973.
В этой книге в определении размерности $\operatorname {ind}$ другое условие.

У Энгелькинга

$\operatorname {ind} X \leqslant n$, если для каждой точки $x \in X$ и каждой ее окрестности $V$ найдется открытое $U$ такое, что $x \in U \subset V$ и $\operatorname {ind} \operatorname {Fr} U \leqslant n - 1$.

У Александрова, Пасынкова (с. 163) окрестность $U$ должна входить в $V$ вместе со своим замыканием, которое будем обозначать квадратными скобками как $[U]$:

$\operatorname {ind} X \leqslant n$, если для каждой точки $x \in X$ и каждой ее окрестности $V$ найдется открытое $U$ такое, что $x \in U$, $[U] \subset V$ и $\operatorname {ind} \operatorname {Fr} U \leqslant n - 1$.

И вот эквивалентность определения Александрова, Пасынкова определению через перегородки действительно легко доказать. Достаточно взять $V = X \setminus F$ и заметить, что $X \setminus \operatorname {Fr} U = U \cup X \setminus [U]$. И что $F \subset X \setminus [U]$, раз уж $[U] \subset X \setminus F$ .

А вот эквивалентность определения Энгелькинга определению через перегородки мне доказать не удалось. Я не понимаю, какие $V, U$ я должен взять. Если $U$ - произвольное подмножество $X \setminus F$, то возможен случай, когда $[U]$ шире, чем $X \setminus F$. А существование меньших, чем $X \setminus F$, окрестностей точки $x$ в произвольном пространстве не гарантировано.

Вопрос: это я не смог доказать эквивалентность или это действительно разные определения размерности? Или в Энгелькинге опечатка, и он просто забыл пропечатать оператор замыкания?

Ниже для удобства цитирую определение размерности через перегородки.

Someone в сообщении #1185477 писал(а):
Вообще, попробуйте мыслить не окрестностями, а перегородками: $\operatorname{ind}X\leqslant n$, если для каждой точки $x\in X$ и каждого не содержащего её замкнутого множества $F\subset X$ между ними найдётся перегородка $\Phi\subset X$ размерности $\operatorname{ind}\Phi\leqslant n-1$.

Замкнутое множество $\Phi\subseteq X$ называется перегородкой между множествами $A\subseteq X$ и $B\subseteq X$, если существуют такие открытые множества $U\subseteq X$ и $V\subseteq X$, что выполняются следующие условия:
1) $U\cap V=\varnothing$,
2) $U\cup V=X\setminus\Phi$,
3) $A\subseteq U$ и $B\subseteq V$.

Легко доказать, что эта формулировка равносильна второму пункту у Энгелькинга.
Легко ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение03.05.2020, 17:24 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Anton_Peplov в сообщении #1185458 писал(а):
2. $\operatorname {ind} X \leqslant n$, если для каждой точки $x \in X$ и каждой ее окрестности $V$ найдется открытое $U$ такое, что $x \in U \subset V$ и $\operatorname {ind} \operatorname {Fr} U \leqslant n - 1$.

Энгелькинг изначально предполагает регулярность пространств, что позволяет в приведенном условии принять $\operatorname{Fr} U \subset V.$

Предположение регулярности необременительно в теоретическом плане; я конкретику забыл, но из конечномерности (в смысле конечного $\operatorname{ind}$) нехитро выводилась регулярность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение03.05.2020, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
SomePupil в сообщении #1459816 писал(а):
Энгелькинг изначально предполагает регулярность пространств
Точно! Эх. Полдня сегодня зря потерял, невнимательно переписав определение.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение03.05.2020, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Someone в сообщении #1185477 писал(а):
Потому что у некоторых открытых множеств граница может оказаться размерности $n$.

Someone в сообщении #1185477 писал(а):
Потому что у некоторых окрестностей граница может оказаться слишком маленькой размерности.

А можно примеры привести? Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение04.05.2020, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Geen в сообщении #1459865 писал(а):
А можно примеры привести?
1) Пространство — график функции $y=\sin\frac 1x$ вместе с предельным отрезком. Открытое множество — часть графика, определяемая неравенством $x>0$. Его граница — предельный отрезок $\{(x,y):x=0,-1\leqslant y\leqslant 1\}$.
Это пространство одномерно в смысле любой из размерностей $\operatorname{ind}$, $\dim$, $\operatorname{Ind}$, размерность границы тоже равна $1$.
2) Пространство — объединение двух двумерных симплексов (треугольников), пересекающихся по одной вершине. Дополнение до этой вершины распадается на два связных открытых множества, для которых общая вершина является общей границей.
Размерность пространства в любом из трёх смыслов равна $2$, размерность границы равна $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение04.05.2020, 14:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Someone
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение05.05.2020, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Someone в сообщении #1460090 писал(а):
2) Пространство $X$ — объединение двух двумерных симплексов (треугольников), пересекающихся по одной вершине $a$. Дополнение до этой вершины $X\setminus \{a\}$ распадается на два связных открытых множества $O_1, O_2$, для которых общая вершина является общей границей.
Размерность пространства в любом из трёх смыслов равна $2$, размерность границы равна $0$.
(Обозначения мои - Anton_Peplov)

Не понял, что иллюстрирует этот пример. Что у каждой точки двумерного пространства $X$ есть окрестность ($O_1$ или $O_2$) с нульмерной границей $\{a\}$? Но ведь не у каждой. У самой точки $a$ такой окрестности нет.

Если же рассмотреть $X\setminus \{a\}$ как двумерное пространство с индуцированной из $X$ топологией, то точка $a$ вообще в него не входит и потому не может являться граничной ни для каких окрестностей в топологии $X\setminus \{a\}$.

(Зато точно можно сказать, что в любом пространстве $X$ у каждой точки есть окрестность с пустой, и, следовательно, $-1$-мерной границей - это само $X$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение05.05.2020, 13:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Anton_Peplov в сообщении #1460309 писал(а):
Не понял, что иллюстрирует этот пример. Что у каждой точки двумерного пространства $X$ есть окрестность ($O_1$ или $O_2$) с нульмерной границей $\{a\}$? Но ведь не у каждой. У самой точки $a$ такой окрестности нет.
Ну, прицепите таким же образом ещё третий треугольник. Или возьмите несвязное пространство, тогда у каждой точки будет открыто-замкнутая окрестность, у которой граница пустая и имеет размерность $-1$.

А вообще, это иллюстрация к следующему диалогу.
Someone в сообщении #1185477 писал(а):
Anton_Peplov в сообщении #1185458 писал(а):
Почему не удовольствоваться тем, чтобы у каждой точки нашлась окрестность с такой границей (мягкий вариант)?
Потому что у некоторых окрестностей граница может оказаться слишком маленькой размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл определений размерности в общей топологии
Сообщение05.05.2020, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4609
Someone в сообщении #1460318 писал(а):
Или возьмите несвязное пространство
Можно и связное. Само пространство для каждой своей точки является окрестностью, имеющей пустую границу (размерности $-1$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group