2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Question about substitution
Сообщение12.01.2017, 02:01 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
Do there exists a substitution that makes the following equation reciprocal / Quasi-palindromic equation:

$a^2 b c^2 + (-2 a^2 b c - a^2 c^2 - a b c^2) x + (a^2 b - a b c - a c^2) x^2 + (2 a b + b c) x^3 + b x^4=0$

or some other way to solve it avoiding Ferrari's formula?

 Профиль  
                  
 
 Re: Question about substitution
Сообщение12.01.2017, 13:22 
Заслуженный участник


10/01/16
1256
ins-
$b$ входит линейно. Так что единственная надежда - разложить на множители.
И вот если бы перед $abc^2$ был знак "плюс" - то $x=-a$ - подходит....

 Профиль  
                  
 
 Re: Question about substitution
Сообщение12.01.2017, 14:30 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
DeBill

Thank you for the idea. If one of the members in the coefficient before $x$ is missing it will be a reciprocal equation. I'll recheck my calculations. It is a part of a bigger problem:

If in a triangle $ABC$ is chosen a point $P$ and the lines $AP$, $BP$, $CP$ intersect the opposite to vertices sides at the points $A'$, $B'$, $C'$ and the areas of $APC'$, $BPA'$, $CPB'$ are $a$, $b$, $c$ - find the area of $ABC$.

I solved it using 3 different methods but the lowest possible degree of the equations I obtained is 4-th. The equation I posted is one of the equations I have as an intermediate result. $x$ is the area to one of the triangles formed by ABC's cevians.

 Профиль  
                  
 
 Re: Question about substitution
Сообщение12.01.2017, 16:48 
Заслуженный участник


10/01/16
1256
ins-
Недавно, на Израильской олимпиаде, была задача: доказать, что если $a=b=c$, то и три другие площади равны.
Задачу эту можно было свести к симметричной системе из трех уравнений (приводящую к уравнению высокой степени), которую можно было решить из соображений монотонности (если $x<y$, то $y<z$, и тогда $z<x$, противоречие). У вас система будет асимметричной. Но, если угадать решение, то тем же методом можно бы доказать и отсутствие других решений.... Но....

(Оффтоп)

Легко получить $abc = xyz, ab+bc+ac =xy+yz+zx$. Но что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Question about substitution
Сообщение12.01.2017, 17:53 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
About the problem from Israel - it can be proven from $a=b=c$ that $ABC$ is equilateral.
I also have proofs for the facts $abc=xyz$ and $ab+bc+ca=xy+yz+zx$ but don't know how to proceed further.
For a=84, b=35, c=40 I'm capable to solve the problem in 3 ways, but for the common case using software I found 2 kilometer long roots exist. It is the reason to wonder is there something simpler as an expression.
If we denote the ratios in which the cevians divide the triangle's sides with $m$, $n$, $k$ and the areas are $a$, $b$, $c$ the following system is correct:

$mnk=1$

$\frac{1+n}{m(k+1)}=\frac{a}{b}$

$\frac{1+m}{k(n+1)}=\frac{b}{c}$

$\frac{1+k}{n(m+1)}=\frac{c}{a}$

but again ugly 4-th degree equations can be found.

I wonder if we express the ratios $x/y$, $y/z$, $z/x$ where $x$, $y$, $z$ are the unknown areas in terms of $k$, $m$, $n$ and try to eliminate $m$, $n$, $k$ what will happens.

 Профиль  
                  
 
 Re: Question about substitution
Сообщение12.01.2017, 18:51 
Заслуженный участник


10/01/16
1256
ins- в сообщении #1184040 писал(а):
it can be proven from $a=b=c$ that $ABC$ is equilateral.

Нет, только равенство $m=n=k=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Question about substitution
Сообщение18.01.2017, 18:45 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
DeBill

Thank you for spending time to this problem and notifying me about my mistake. I solved it in 5 different ways, but wasn't capable to find an equation with a degree less than 4. I composed another problem with areas that leads in the common case to an equation with degree 3 with (I suppose) not a nice root $x^3+(a+b+c)x^2-4abc=0$. There are similar problems.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group