2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение10.01.2017, 22:50 


09/10/15
237
San Jose, USA
Тут в олимпиадном разделе упоминалась задачка про сопротивление куба и потом бесконечной решетки. С помощью симметрии понятно как решить задачу о сопротивлении такой решетки между соседними узлами. Я пытался посчитать сопротивление между диагональными или еще какими узлами, но ничего толком не придумал. Потом прочел где-то что такие задачи можно решать с помощью дискретного преобразования Фурье.
Подскажите, как это делается. Очень любопытно. Ну или хотя бы хинт какой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение10.01.2017, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60599
Задачи с решёткой делаются так:
1) Находим сопротивление между уединённым узлом и бесконечностью (которую объединяем в другой узел).
2) После этого, можем найти распределение токов в ближайших ветках, и найти сопротивление между двумя узлами, просто подключая к ним источники по принципу суперпозиции.

Вот конкретные задачи я не помню: была точно квадратная решётка, может быть, полурешётка (решётка на полуплоскости), а вот была ли кубическая... не уверен. Но в принципе, почему бы и нет. (Это не сплошная среда, где 2D и 3D радикально различаются.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение10.01.2017, 23:29 


09/10/15
237
San Jose, USA
Для любой простой решетки квадратной, кубической, треугольной etc задача о сопротивлении между соседними узлами действительно решается с помощью задания нулевого потенциала на бесконечности. Тогда ответ зависит от числа элеметов, сходящихся в узле.
Но этот принцип уже не работает, если узлы не соседние. По крайней мере у меня не работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 09:44 
Заслуженный участник


28/12/12
3786
fred1996 в сообщении #1183491 писал(а):
Но этот принцип уже не работает, если узлы не соседние. По крайней мере у меня не работает.

Через один работает, нужно только токи в ветках расставить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 10:54 


05/09/16
765
fred1996 в сообщении #1183482 писал(а):
Подскажите, как это делается.

Я нашел в интернете полное решение, но не уверен, позволяют ли правила ПРР(Ф) запостить ссылку сюда. Хотя, вроде задача не учебная.
Запощу пока только ответ: в квадратной решетке сопротивление между соседними точками по диагонали будет $2/\pi$, и $\pi$ участвует в сопротивлении везде кроме непосредственно соседних узлов (между которыми сопротивление $1/2$), сопротивление между узлами по прямой через один узел например будет $2-4/\pi$, а через три узла будет $40-368/3\pi$.

Простыми соображениями ("только токи в ветках расставить"), как для двух соседних узлов по прямой, к сожалению, отделаться не выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60599
wrest в сообщении #1183582 писал(а):
Я нашел в интернете полное решение, но не уверен, позволяют ли правила ПРР(Ф) запостить ссылку сюда.

Я думаю, если вы сами разобрались в решении, а не просто нашли, то можно попробовать. По крайней мере, в теме уже есть попытки решения, конструктивное обсуждение, которое может быть доведено до ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 19:36 


09/10/15
237
San Jose, USA
wrest в сообщении #1183582 писал(а):
fred1996 в сообщении #1183482 писал(а):
Подскажите, как это делается.

Я нашел в интернете полное решение, но не уверен, позволяют ли правила ПРР(Ф) запостить ссылку сюда. Хотя, вроде задача не учебная.


Киньте хотя бы в личку.
Наверное это не запрещено правилами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 21:00 
Заслуженный участник


28/12/12
3786
wrest в сообщении #1183582 писал(а):
Простыми соображениями ("только токи в ветках расставить"), как для двух соседних узлов по прямой, к сожалению, отделаться не выйдет.

Соглашусь, при разветвлении в соседнем узле направления получаются не эквивалентные, поэтому симметрия не поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60599
Я нашёл ошибку в своих рассуждениях. Предыдущие заявления снимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 22:08 


05/09/16
765
"Интегральное" решение: http://www.mathpages.com/home/kmath668/kmath668.htm
"Алгебраическое" решение: http://www.mathpages.com/home/kmath673/kmath673.htm

Там вообще тема "раскопана" очень подробно, в частности обсуждается почему, вообще говоря, "наивное" решение с сопротивлением между соседними узлами по прямой (которое 1/2) не очень-то строгое (зануление потенциала на бесконечности, бесконечное напряжение для бесконечности и т,п.) в общем там много по теме бесконечной сетки сопротивлений.

-- 11.01.2017, 22:14 --

Munin
Вам, я думаю, понравится вот эта часть http://www.mathpages.com/home/kmath670/kmath670.htm :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение12.01.2017, 00:44 


09/10/15
237
San Jose, USA
Спасибо.
Как раз то что я искал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex-Yu, DimaM


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group