2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение10.01.2017, 22:50 


09/10/15
106
San Jose, USA
Тут в олимпиадном разделе упоминалась задачка про сопротивление куба и потом бесконечной решетки. С помощью симметрии понятно как решить задачу о сопротивлении такой решетки между соседними узлами. Я пытался посчитать сопротивление между диагональными или еще какими узлами, но ничего толком не придумал. Потом прочел где-то что такие задачи можно решать с помощью дискретного преобразования Фурье.
Подскажите, как это делается. Очень любопытно. Ну или хотя бы хинт какой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение10.01.2017, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60245
Задачи с решёткой делаются так:
1) Находим сопротивление между уединённым узлом и бесконечностью (которую объединяем в другой узел).
2) После этого, можем найти распределение токов в ближайших ветках, и найти сопротивление между двумя узлами, просто подключая к ним источники по принципу суперпозиции.

Вот конкретные задачи я не помню: была точно квадратная решётка, может быть, полурешётка (решётка на полуплоскости), а вот была ли кубическая... не уверен. Но в принципе, почему бы и нет. (Это не сплошная среда, где 2D и 3D радикально различаются.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение10.01.2017, 23:29 


09/10/15
106
San Jose, USA
Для любой простой решетки квадратной, кубической, треугольной etc задача о сопротивлении между соседними узлами действительно решается с помощью задания нулевого потенциала на бесконечности. Тогда ответ зависит от числа элеметов, сходящихся в узле.
Но этот принцип уже не работает, если узлы не соседние. По крайней мере у меня не работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 09:44 
Заслуженный участник


28/12/12
3682
fred1996 в сообщении #1183491 писал(а):
Но этот принцип уже не работает, если узлы не соседние. По крайней мере у меня не работает.

Через один работает, нужно только токи в ветках расставить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 10:54 


05/09/16
661
fred1996 в сообщении #1183482 писал(а):
Подскажите, как это делается.

Я нашел в интернете полное решение, но не уверен, позволяют ли правила ПРР(Ф) запостить ссылку сюда. Хотя, вроде задача не учебная.
Запощу пока только ответ: в квадратной решетке сопротивление между соседними точками по диагонали будет $2/\pi$, и $\pi$ участвует в сопротивлении везде кроме непосредственно соседних узлов (между которыми сопротивление $1/2$), сопротивление между узлами по прямой через один узел например будет $2-4/\pi$, а через три узла будет $40-368/3\pi$.

Простыми соображениями ("только токи в ветках расставить"), как для двух соседних узлов по прямой, к сожалению, отделаться не выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60245
wrest в сообщении #1183582 писал(а):
Я нашел в интернете полное решение, но не уверен, позволяют ли правила ПРР(Ф) запостить ссылку сюда.

Я думаю, если вы сами разобрались в решении, а не просто нашли, то можно попробовать. По крайней мере, в теме уже есть попытки решения, конструктивное обсуждение, которое может быть доведено до ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 19:36 


09/10/15
106
San Jose, USA
wrest в сообщении #1183582 писал(а):
fred1996 в сообщении #1183482 писал(а):
Подскажите, как это делается.

Я нашел в интернете полное решение, но не уверен, позволяют ли правила ПРР(Ф) запостить ссылку сюда. Хотя, вроде задача не учебная.


Киньте хотя бы в личку.
Наверное это не запрещено правилами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 21:00 
Заслуженный участник


28/12/12
3682
wrest в сообщении #1183582 писал(а):
Простыми соображениями ("только токи в ветках расставить"), как для двух соседних узлов по прямой, к сожалению, отделаться не выйдет.

Соглашусь, при разветвлении в соседнем узле направления получаются не эквивалентные, поэтому симметрия не поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60245
Я нашёл ошибку в своих рассуждениях. Предыдущие заявления снимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение11.01.2017, 22:08 


05/09/16
661
"Интегральное" решение: http://www.mathpages.com/home/kmath668/kmath668.htm
"Алгебраическое" решение: http://www.mathpages.com/home/kmath673/kmath673.htm

Там вообще тема "раскопана" очень подробно, в частности обсуждается почему, вообще говоря, "наивное" решение с сопротивлением между соседними узлами по прямой (которое 1/2) не очень-то строгое (зануление потенциала на бесконечности, бесконечное напряжение для бесконечности и т,п.) в общем там много по теме бесконечной сетки сопротивлений.

-- 11.01.2017, 22:14 --

Munin
Вам, я думаю, понравится вот эта часть http://www.mathpages.com/home/kmath670/kmath670.htm :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная двумерная квадратная решетка
Сообщение12.01.2017, 00:44 


09/10/15
106
San Jose, USA
Спасибо.
Как раз то что я искал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group