2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5023
LionKing в сообщении #1183708 писал(а):
Длина отрезка - вещественное число или рациональное?
Вы бы еще предположили, что оно трансфинитное. Вещественное, конечно, иначе как нам быть с прямоугольными треугольниками? Вас смущает, что явно не указано, что оно вещественное? Ну, это подразумевается по умолчанию, когда произносится слово "число".
LionKing в сообщении #1183708 писал(а):
Одно с другим связано.
LionKing в сообщении #1183710 писал(а):
Фигура? А что это?)
Часть используемых в аксиомах понятий всегда приходится оставлять без определений. Или принимать аксиомы за их определения. Типа "точка, прямая и плоскость в евклидовой геометрии - это нечто, подчиняющееся следующим аксиомам".

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
LionKing в сообщении #1183708 писал(а):
Длина отрезка - вещественное число или рациональное? (существенный момент)

Это определяется не курсом геометрии, а другими параллельными потоками математики. По мере того, как там проходят сначала рациональные числа, а потом вещественные, можно "апгрейдить" и понятие длины отрезка.

В профильном курсе алгебры можно доказать иррациональность $\sqrt{2},$ но вряд ли это доказательство органично впишется в школьный курс геометрии. Обычно об иррациональности $\sqrt{2}$ и $\pi$ сообщается без доказательства, и я не знаю ни одной школьной задачи, требующей опираться на эти факты.

LionKing в сообщении #1183708 писал(а):
Одно с другим связано.

Понятное дело, но вы декларировали дыры именно в аксиоматике.

Определения в школе, конечно, далеки от вузовского уровня. Однако требовать от школьников знания тонкостей определений нелепо. И не об этом речь в этой теме. Частью инструментария школьники могут пользоваться "извне", введённой вне предмета геометрии: понятиями числа, отображения, логическими операциями, операциями на множествах.

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:02 
Аватара пользователя


07/01/15
737
Нюрба

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #1183364 писал(а):
учебники столетней давности в сто раз и лучше.

Metford в сообщении #1183709 писал(а):
Лучше для чего?

Ну как же для чего? А поностальгировать? Дескать, учебники были в сто раз лучше и девочки были в сто раз того...

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
В Киселёве (переиздание 2004 года) изложены аксиомы Гильберта.

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:19 


07/05/12
122
Munin в сообщении #1183712 писал(а):
Понятное дело, но вы декларировали дыры именно в аксиоматике

Это и были дыры в аксиоматике. Ну сами посудите. Вот есть у нас тип: "фигура". Объект может обладать или не обладать этим типом, например: объект 1, объект 2: фигура
Для того, чтобы аксиомы работали работали, нам нужно "привязать" его к уже существующим. Иначе как мы поймем, что треугольник - фигура, что трапеция - фигура?
Мы можем сказать, что если объект 1 - треугольник/трапеция, то объект 1 - фигура. А как быть с остальными многоугольниками с учетом того, что выше обозначенные аксиоматики построены "без участия" ТМ-ов. Мы можем определить тип "многоугольник". Но как? Нужно нумеровать точки, и вот мы уже пришли к необходимости подключать натуральные числа со своей аксиоматикой.) Плюс ко всему, нумерация - это соответствие, которое нужно как-то втиснуть в безТМ-ную теорию.))) Как-то так...

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Munin в сообщении #1183704 писал(а):
Аксиомы, приведённые в Погорелове (изд. 1993, 4-е):
Тут всё плохо. Можно взять издание пораньше -- там хорошо.
Конкретно, например, ничего не понятно с полупрямыми и полуплоскостями. Тут же нет описания способа того, как прямая разбивается на два луча.

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:26 


07/05/12
122
Прошу меня извинить, но есть необходимость прервать дискуссию в силу наличия дел.) Тема интересная, но увы... Если кого нечаянно задел или обидел - извиняюсь.)))

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21049
Уфа
LionKing в сообщении #1183698 писал(а):
Но в теории используются "не заявленные" конструкции:
1) Бесконечная последовательность точек. Что это?
2) Совокупность точек. Что это? (См. определение луча, полуплоскости)
Надо смотреть на тот вариант, которым Гильберт пользовался в изысканиях насчёт элементарной геометрии как теории. Может, там всё более строго.

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:29 


07/05/12
122
arseniiv в сообщении #1183721 писал(а):
LionKing в сообщении #1183698 писал(а):
Но в теории используются "не заявленные" конструкции:
1) Бесконечная последовательность точек. Что это?
2) Совокупность точек. Что это? (См. определение луча, полуплоскости)
Надо смотреть на тот вариант, которым Гильберт пользовался в изысканиях насчёт элементарной геометрии как теории. Может, там всё более строго.

С радостью посмотрю? А где, не подскажите, пожалуйста?

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
LionKing
Насколько я могу судить, "фигура" в Атанасяне - это приблизительно то же, что множество точек.

Ваши придирки были бы по делу, если бы в школе и на школьных олимпиадах были бы задачи, которые опирались бы на указанные вами нюансы. Однако их нет.

-- 11.01.2017 20:38:55 --

Nemiroff в сообщении #1183718 писал(а):
Тут всё плохо. Можно взять издание пораньше -- там хорошо.

У вас есть - приведите.

Nemiroff в сообщении #1183718 писал(а):
Конкретно, например, ничего не понятно с полупрямыми и полуплоскостями. Тут же нет описания способа того, как прямая разбивается на два луча.

Что именно вам непонятно? И напомню, вопрос о дырах не в определениях, а в аксиомах.

Хотя бы потому, что цитировать все определения из учебника - многовато получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21049
Уфа
LionKing в сообщении #1183724 писал(а):
С радостью посмотрю? А где, не подскажите, пожалуйста?
Не знаю, к сожалению. Я только слышал про то, зачем Гильберту вообще понадобилось придумывать аксиоматику.

Munin в сообщении #1183712 писал(а):
По мере того, как там проходят сначала рациональные числа, а потом вещественные, можно "апгрейдить" и понятие длины отрезка.
Тут дело в том, что тогда это не получается теория первого порядка, потому что не добавлены аксиомы вещественных чисел, а если мы их даже добавим, у нас получится не та геометрия, про которую Гильберт доказал полноту, потому что у первопорядковой теории вещественных чисел есть нестандартные модели.

Anton_Peplov в сообщении #1183711 писал(а):
Часть используемых в аксиомах понятий всегда приходится оставлять без определений. Или принимать аксиомы за их определения. Типа "точка, прямая и плоскость в евклидовой геометрии - это нечто, подчиняющееся следующим аксиомам".
Но если фигура используется только в той одной аксиоме, этого будет недостаточно, чтобы понять её взаимоотношения со всем остальным.

Вообще тут надо аккуратно разобрать, о каких теориях мы тут говорим и о каких не говорим, и чего мы от них хотим.

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
arseniiv в сообщении #1183730 писал(а):
Тут дело в том, что тогда это не получается теория первого порядка, потому что не добавлены аксиомы вещественных чисел, а если мы их даже добавим, у нас получится не та геометрия, про которую Гильберт доказал полноту, потому что у первопорядковой теории вещественных чисел есть нестандартные модели.

Опять вопрос: на эти все тонкости есть школьные задачи??? Или вы всё-таки не понимаете, о чём тема?

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21049
Уфа
Ну, кусок темы можно отделить, притом начиная с совершенно ясно какого поста.

-- Ср янв 11, 2017 22:52:10 --

Хотя обсуждать это мне тоже не особо хочется — для полезных и верных ответов надо закапываться в литературу, ещё не сразу ясно какую.

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Munin в сообщении #1183726 писал(а):
Что именно вам непонятно? И напомню, вопрос о дырах не в определениях, а в аксиомах.
Ну хотелось бы уметь решать такое: вот отрезок, его оба конца принадлежат одной полупрямой. Верно ли, что весь отрезок принадлежит одной полупрямой?
Munin в сообщении #1183726 писал(а):
И напомню, вопрос о дырах не в определениях, а в аксиомах.
Вы когда это говорите, вы что имеете в виду? Допустим, аксиоматика такая, что определение корректно ввести не получается. При этом его вводят как получится. Это дыра в определении или в аксиоматике?
Вон у Погорелова написано: полупрямая это часть прямой, которая состоит из всех точек, лежащих по одну сторону от данной точки. "Лежать по одну сторону" --- это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: О доказательствах в геометрии...
Сообщение11.01.2017, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Nemiroff
Повторяю вопрос: приведите цитаты из более раннего издания.

Nemiroff в сообщении #1183740 писал(а):
"Лежать по одну сторону" --- это как?

    Цитата:
    Точка $B$ лежит между точками $A$ и $C,$ она разделяет точки $A$ и $C.$ Можно также сказать, что точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от точки $B.$ Точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от точки $A,$ они не разделяются точкой $A.$ Точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от точки $C.$
    Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 109 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group