2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Задача на синхронные колебания
Сообщение11.01.2017, 02:17 
Аватара пользователя


09/10/15
1948
San Jose, USA
Имеется длинная однородная доска массы $M$ в виде качелей.
То есть она закреплена в центре и может без трения колебаться вокруг горизонтальной оси.
На доску можно положить грузик массы $m<<M$
Грузик может передвигаться без трения по доске.
Один край доски чуток приподняли и положили на него грузик. При определенном соотношении масс доски и грузика система может совершать малые гармонические колебания. Найти частоту этих колебаний и отношение масс грузика и доски

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение11.01.2017, 17:19 
Заслуженный участник


21/09/15
671
Предполагается ли знание уравнения Лагранжа?
Длина доски видимо должна быть также задана. У меня в формулу для частоты она вошла.
Хотя для соотношения масс - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение11.01.2017, 17:43 
Аватара пользователя


09/10/15
1948
San Jose, USA
Нет.
Лагранж не требуется.
Из соображений размерности действительно длина доски должна входить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение11.01.2017, 17:51 
Заслуженный участник


21/09/15
671
Можно и без него, но сложнее.
Меня интересует уровень олимпиады

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение11.01.2017, 18:01 
Аватара пользователя


09/10/15
1948
San Jose, USA
Поскольку это уже второй вопрос, связанный с американскими школьными олимпиадами, сейчас напишу про них поподробнее в общем физическом разделе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение11.11.2017, 20:08 
Аватара пользователя


09/10/15
1948
San Jose, USA
Посмотрел задачки, для которых так и не дали решения. Неужели данная задача не под силу местным зубрам? Или наоборот, слишком проста?
Еще раз. Длина однородной доски $L$
Угловая амплитуда малых колебаний $\theta_0$
Найти соотношение масс $m/M$, при которых возможно синхронное гармоническое колебание доски вокруг точки равновесия и движение грузика по доске из одного конца доски в другой.
Ну и найти эту частоту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение11.11.2017, 20:46 


31/08/17
175
Пусть $x$ -- координата вдоль доски точки массой $m$, отсчитываемая от середины доски; $\varphi$ -- угол наклона доски к горизонтали. Линеризуем уравнения движения в окрестности $x=0,\quad \varphi=0$. Ищем частное решение полученной системы вида $x=const\cdot \varphi$. Из двух возможных значений этой константы выбираем то для которого получатся гармонические колебания

-- 11.11.2017, 21:55 --

В порядке "алаверды": доказать, что похожее периодическое решение имеется в честной нелинейной системе

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение12.11.2017, 00:46 
Аватара пользователя


09/10/15
1948
San Jose, USA
На самом деле важно только требование малость амплитуды $\theta_0$
Маленький грузик двигается из конца в конец.

-- 11.11.2017, 14:05 --

pogulyat_vyshel
Ну а ваша задача решается из из общих соображений.
Пусть нам задан начальный угол $\theta_0$
Если положить очень маленький грузик, то он проскочит середину палки и уедет достаточно далеко. И остановится при малом угле отклонения палки. Меньше $\theta_0$
Если масса достаточно большая, грузик остановится при угле большем $\theta_0$. То есть угол первого останова есть непрерывная возрастающая функция массы грузика. Нам надо подобрать массу, при которой грузик остановится ровно при угле $\theta_0$. Это и будет то что нужно. В силу закона сохранения энергии.
Далее процесс симметрично повторяется.

Правда даже если максимальный угол отклонения с другой стороны отличен от $\theta_0$, груз обратно поедет симметричным образом и достигнет этого угла $\theta_0$ опять.
То есть колебание периодическое, но с различной правой и левой амплитудами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение12.11.2017, 04:51 


31/08/17
175
fred1996 в сообщении #1264541 писал(а):
На самом деле важно только требование малость амплитуды $\theta_0$
Маленький грузик двигается из конца в конец.


выложите, пожалуйста, полное решение вашей задачи

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение12.11.2017, 06:22 
Аватара пользователя


09/10/15
1948
San Jose, USA
Пусть у нас в данный конкретный момент расстояние грузика до центра $x$
Угол наклона доски $\theta$
Тогда уравнение для движения грузика при малых углах:
1. $a=-g\theta$
Уравнение движения доски:
2. $I\alpha=-mgx$ или $\frac{1}{12}ML^2\alpha=-mgx$
То есть получается, что оба ускорения перекрестным образом линейны по соответствующим отклонениям.

Теперь мы предполагаем, что и движение груза, и вращение доски суть синхронные гармоничесие колебания.
Тогда:
$x=\frac{L}{2}\sin(\omega t)$
$\theta=\theta_0\sin(\omega t)$

Остается пару раз продифференцировать оба уравнения и подставить все выражения в Уравнения 1.-2.
Откуда получаются соотношения масс и частота $\omega$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение12.11.2017, 07:43 
Аватара пользователя


09/10/15
1948
San Jose, USA
fred1996 в сообщении #1264541 писал(а):
Правда даже если максимальный угол отклонения с другой стороны отличен от $\theta_0$, груз обратно поедет симметричным образом и достигнет этого угла $\theta_0$ опять.
То есть колебание периодическое, но с различной правой и левой амплитудами.


Тут вышла очевидная лажа.
Когда доска отклоняется максимальным образом, грузик не обязан остановиться.
То есть никакого синхронного колебания не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение12.11.2017, 09:42 


27/08/16
2206
fred1996 в сообщении #1183537 писал(а):
Один край доски чуток приподняли и положили на него грузик. При определенном соотношении масс доски и грузика система может совершать малые гармонические колебания. Найти частоту этих колебаний и отношение масс грузика и доски
При любом отношении масс грузика и доски период малых колебаний бесконечный.

Малые колебания - это колебания в пределе нулевой амплитуды колебаний, при фиксированных всех остальных параметрах системы. Что есть в данной задаче амплитуда колебаний, которую можно было бы устремить к нулю? Длина доски фиксирована, её куда-либо устремлять не получится. Малым может быть только начальный угол отклонения доски от горизонтали. Но чем меньше этот начальный угол - тем меньше потенциальная энергия системы (которая, кстати, линейна по углу отклонения). И тем меньше скорость вращения доски и линейная скорость грузика при проскоке грузиком центра доски. Но кинетическая энергия малых колебаний равна потенциальной. Значит, скорость грузика при проскоке центра стремится к нулю при стремлении к нулю начального отклонения. Но длина доски фиксирована, и амплитуда движения грузика по доске равна половине длины доски (как начальное условие), значит, период движения грузика по доске стремится к бесконечности при устремлении амплитуды малых колебаний к нулю.

Ещё одна задача, в которой порядок взятия пределов важен.

UPD: чтобы траектории колебаний системы были замкнутыми, масса грузика, тоже, должна устремляться к нулю при устремлении отклонения к нулю. Но изменение параметров системы недопустимо при рассмотрении малых колебаний. Похоже, для каждого набора параметров системы существует своя замкнутая неустойчивая траектория движения со своим определённым начальным отклонением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение12.11.2017, 09:59 


31/08/17
175
Уравнения движения системы следующие
$$\ddot x-x\dot\varphi^2+g\sin\varphi=0,\quad (J+mx^2)\ddot\varphi+2mx\dot x\dot \varphi+mgx\cos\varphi=0.$$
Откуда видно , что линеризовывать уравнения только по $\varphi$ не выйдет из-за члена $2mx\dot x\dot \varphi$. Однако, если линеризовывать стандартным образом:
$$\ddot x+g\varphi=0,\quad J\ddot\varphi+mgx=0$$ то такая система действительно имеет решение с гармоническими колебаниями

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение12.11.2017, 10:07 
Заслуженный участник


21/09/15
671

(Оффтоп)

Судя по моему участию в этой теме, я эту задачу решал, но абсолютно ничего не помню, ужас какой-то. Надо полагать, я исходил из функции Лагранжа $$\frac{I \dot{\varphi}^2}{2}+\frac{m \dot{x}^2}{2}-mgx\varphi =$$ $$\frac{I}{4}(\dot{\varphi}+\sqrt{\frac{m}{I}}\dot{x})^2+\frac{I}{4}(\dot{\varphi}-\sqrt{\frac{m}{I}}\dot{x})^2-\frac{g\sqrt{I m}}{4}(\varphi+\sqrt{\frac{m}{I}}x)^2+\frac{g\sqrt{I m}}{4}(\varphi-\sqrt{\frac{m}{I}}x)^2$$
Отсюда уже все ясно

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на синхронные колебания
Сообщение12.11.2017, 10:37 


27/08/16
2206
pogulyat_vyshel в сообщении #1264598 писал(а):
Однако, если линеризовывать стандартным образом:
Вот только $x$ не является бесконечно малой при заданной длине доски.

-- 12.11.2017, 10:42 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1264598 писал(а):
$$\ddot x-x\dot\varphi^2+g\sin\varphi=0,\quad (J+mx^2)\ddot\varphi+2mx\dot x\dot \varphi+mgx\cos\varphi=0$$
С этими уравнениями согласен.
Это точные уравнения движения, полученные из правильного лагранжиана $$L=\frac{J\dot \varphi^2}{2}+\frac{m\left( \dot x^2 + x^2\dot\varphi^2\right)}{2}-mgx\sin\varphi$$
Начальные условия движения: $$x=x_0=l/2,\quad\varphi=\varphi_0$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group