Еще раз об иррациональных числах

[Rusit8800]

Недавно случайно в голову пришла такая мысль: пусть за $x_a$ обозначена последняя десятичная запись числа $a!$. Будет ли число $0,x_1x_2x_3...$ иррациональным? Доказать иррациональность мне не удается, хотя идея очень правдоподобна, так как никаких зацикливаний я не обнаружил. Известна ли такая задача?

[atlakatl]

Конечное число членов даёт вполне конечную десятичную дробь - в отличие от $1/3$ даже.
А вопрос, будет ли бесконечная последовательность иррациональной, смысла не имеет.

[mihaild]

Что такое "последняя десятичная запись"?
Если просто "десятичная запись", а наше число равно $0,1126241207205040...$, то иррационально - достаточно посмотреть на то, какой длины бывают идущие подряд подпоследовательности из одних нулей (для рациональных чисел либо конечной, либо число является десятично-рациональным).

[Dan B-Yallay]

Я понял вопрос ТС так:
берём последовательность факториалов:

$$\begin{align*} 1! &= 1\\ 2! &= 2\\ 3! &= 6 \\ 4! &= 24\\ 5! &= 120\\ ... \\ n! &= ...\\ ... \end{align*}$$

Теперь собираем последние цифры и конструируем из них последовательность. О том, что эта последовательность равна именно 0.1264 (0) ТС, похоже, догадывается, но не признаётся:

Rusit8800 в сообщении #1183372 писал(а):

так как никаких зацикливаний я не обнаружил.

Или я понял неправильно, но тогда TS пусть обьяснит, что такое число $a$, откуда оно, и с чем его едять.

[grizzly]

Неужели так много разумных вариантов? Или первая цифра или последняя ненулевая. С первой всё просто, а вот с последней тоже, наверное.

[Cash]

grizzly в сообщении #1183466 писал(а):

а вот с последней тоже, наверное

Это задача 3.14 из сборника Сергеева "Зарубежные математические олимпиады". Достаточно содержательная задача для школьника.

[atlakatl]

Cash
Задача по Вашей ссылке это:
Пусть $h_n$ последняя ненулевая цифра $n!$. Доказать, что число $0,h_1h_2h_3h_4...$ иррациональное.
С задачей ТС у неё мало общего. До этого большей частью обсуждали, как понять задачу Rusit8800.

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1183624 писал(а):

С задачей ТС у неё мало общего. До этого большей частью обсуждали, как понять задачу Rusit8800.

Ну так сообщение Cash и было развитием этого обсуждения. Не самым худшим, имхо. (Чувствовал я, что с последней цифрой всё не так очевидно :)

[Cash]

atlakatl в сообщении #1183624 писал(а):

С задачей ТС у неё мало общего.

Вы поняли точно, что хотел ТС? Ваша телепатия тогда сильнее моей.
Я и не пытался понимать. Отвечал grizzly на его сообщение. И здесь я уверен, что он подразумевал именно эту задачу.