2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мат. ожидание по кусочно-непрерывной функции распределения
Сообщение10.01.2017, 10:53 


15/11/14
115
В книжке есть следующее утверждение, которое дали без доказательства:
Пусть $\xi : \Omega  \to \mathbb{R} $ - случайная величина в вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal {F}, P)$, имеющая функцию распределения в виде $F_\xi(x) = F_0(x)I(\{x \in (-\infty, a_1)\}) + \sum\limits_{i = 1}^{n} F_i(x)I(\{x \in [a_i, a_{i+1})\})$, где все функции $Fi(x)$ дифференцируемы на $\mathbb{R}$; $-\infty = a_0 < a_1 < ... < a_n < a_{n+1} = +\infty$, а $I({...})$ - индикаторные функции. Тогда для любой кусочно-непрерывной функции $\varphi(x) = \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ математическое ожидание случайной величины $\varphi(\xi)$ равно
$\operatorname {E}\varphi(\xi) = \sum\limits_{i = 0}^{n} \int\limits_{a_i}^{a_{i+1}} \varphi(x)F'_i(x)dx + \sum\limits_{i = 1}^{n} \varphi(a_i) (F_i(a_i)-F_{i-1}(a_i))$.

Эта функция $F_\xi$ не является ни дискретной, ни абсолютно непрерывной. Где можно прочесть доказательство этого утверждения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание по кусочно-непрерывной функции распределения
Сообщение10.01.2017, 11:27 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
lantza в сообщении #1183243 писал(а):
Где можно прочесть доказательство этого утверждения?

Вообще то, Вы сформулировали два утверждения: формулу для матожидания (она следует из определения интеграла Стильтьеса; надо только потребовать непрерывность $\varphi$ в точках разрыва $F_{\xi}$), и
lantza в сообщении #1183243 писал(а):
функция $F_\xi$ не является ни дискретной, ни абсолютно непрерывной

Последнее немедленно следует из определения; с двумя оговорками:
1. речь идет о случайной величине $\xi$ - именно она будет дискретной или ...
2. Это - правда, если у $F_{\xi}$ есть хотя бы один разрыв, и хотя бы одна из $F_i$ непостоянна на соответствующем участке. Действительно, тогда $F_{\xi}$ имеет разрывы (и $\xi$ не абс. непрерывна), но $F_{\xi}$ не кусочно-постоянна ($\xi$ - не дискретна)

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание по кусочно-непрерывной функции распределения
Сообщение10.01.2017, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1183250 писал(а):
1. речь идет о случайной величине $\xi$ - именно она будет дискретной или ...

А вот меня, например, учили, что дискретным (абсолютно непрерывным и т.п.) может быть только распределение случайной величины, а "дискретная случайная величина" - это сленг. И математическая энциклопедия тоже так думает :).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание по кусочно-непрерывной функции распределения
Сообщение10.01.2017, 17:22 
Заслуженный участник


10/01/16
2315

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #1183279 писал(а):
"дискретная случайная величина" - это сленг.

Эт да, оно самый и есть .... :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group