2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Десятичная запись степеней тройки и четвёрки
Сообщение09.01.2017, 16:14 
Аватара пользователя


01/12/11
5297
Назарет-с
Существует ли такое натуральное $n$, что десятичная запись числа $3^n$ начинается цифрой 4, а десятичная запись числа $4^n$ начинается цифрой 3?

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись степеней тройки и четвёрки
Сообщение09.01.2017, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12652
Есть. Но как это без тупого перемножения показать, не знаю :-(
Взял для смеха ввёл $1,3,9,2,8,2,7,2,...$ в OEIS и надо же — их там есть!
Вообще у меня такая идея: последовательность первых цифр не периодическая и никаких закономерностей не видно (кроме степени десятки). И можно предположить, что никакая пара первых цифр не имеет ни запретов, ни преференций. А поэтому обязательно встретится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись степеней тройки и четвёрки
Сообщение09.01.2017, 17:28 
Аватара пользователя


01/12/11
5297
Назарет-с
gris в сообщении #1183024 писал(а):
...
Вообще у меня такая идея: последовательность первых цифр не периодическая и никаких закономерностей не видно (кроме степени десятки). И можно предположить, что никакая пара первых цифр не имеет ни запретов, ни преференций. А поэтому обязательно встретится.

Но ведь сие неверно для чисел $2^n$ и $5^n$ :roll: Там тоже не периодическая последовательность из первых цифр, однако не существует такого натурального $n$, при котором число $2^n$ начинается на 5, а число $5^n$ начинается на 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись степеней тройки и четвёрки
Сообщение09.01.2017, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12652
С двойкой и пятёркой понятно. Их произведение равно ровно десяти и нужная степень двойки должна быть ровно пять с нулями, а пятёрки ровно два с нулями. А с другими цифрами помилосерднее. Хотя, закономерностей, конечно, навалом. Но они не жёсткие. Без подбора, наверное, через логарифмы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись степеней тройки и четвёрки
Сообщение10.01.2017, 13:14 
Заслуженный участник


10/01/16
1211
gris в сообщении #1183158 писал(а):
наверное, через логарифмы?

Ну да, конечно: если вектора $1,a$ и $b$ из $\mathbb{R}$ линейно независимы над полем $\mathbb{Q}$, то орбиты сдвига $(x,y) \mapsto (x+a,y+b)$ плотны в торе $\mathbb{T}^2 = (\mathbb{R}/\mathbb{Z})^2$. Это означает, что степени тройки и четверки могут - одновременно - начинаться с любых предписанных -независимо - наборов цифр....
Для двойки и пятерки - не катит, ибо зависимы оне (то бишь, $1, \lg2, \lg5  $)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group