2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Десятичная запись степеней тройки и четвёрки
Сообщение09.01.2017, 16:14 
Аватара пользователя


01/12/11
5154
Назарет, скоро перееду в Модиин
Существует ли такое натуральное $n$, что десятичная запись числа $3^n$ начинается цифрой 4, а десятичная запись числа $4^n$ начинается цифрой 3?

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись степеней тройки и четвёрки
Сообщение09.01.2017, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12492
Есть. Но как это без тупого перемножения показать, не знаю :-(
Взял для смеха ввёл $1,3,9,2,8,2,7,2,...$ в OEIS и надо же — их там есть!
Вообще у меня такая идея: последовательность первых цифр не периодическая и никаких закономерностей не видно (кроме степени десятки). И можно предположить, что никакая пара первых цифр не имеет ни запретов, ни преференций. А поэтому обязательно встретится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись степеней тройки и четвёрки
Сообщение09.01.2017, 17:28 
Аватара пользователя


01/12/11
5154
Назарет, скоро перееду в Модиин
gris в сообщении #1183024 писал(а):
...
Вообще у меня такая идея: последовательность первых цифр не периодическая и никаких закономерностей не видно (кроме степени десятки). И можно предположить, что никакая пара первых цифр не имеет ни запретов, ни преференций. А поэтому обязательно встретится.

Но ведь сие неверно для чисел $2^n$ и $5^n$ :roll: Там тоже не периодическая последовательность из первых цифр, однако не существует такого натурального $n$, при котором число $2^n$ начинается на 5, а число $5^n$ начинается на 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись степеней тройки и четвёрки
Сообщение09.01.2017, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12492
С двойкой и пятёркой понятно. Их произведение равно ровно десяти и нужная степень двойки должна быть ровно пять с нулями, а пятёрки ровно два с нулями. А с другими цифрами помилосерднее. Хотя, закономерностей, конечно, навалом. Но они не жёсткие. Без подбора, наверное, через логарифмы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Десятичная запись степеней тройки и четвёрки
Сообщение10.01.2017, 13:14 
Заслуженный участник


10/01/16
1076
gris в сообщении #1183158 писал(а):
наверное, через логарифмы?

Ну да, конечно: если вектора $1,a$ и $b$ из $\mathbb{R}$ линейно независимы над полем $\mathbb{Q}$, то орбиты сдвига $(x,y) \mapsto (x+a,y+b)$ плотны в торе $\mathbb{T}^2 = (\mathbb{R}/\mathbb{Z})^2$. Это означает, что степени тройки и четверки могут - одновременно - начинаться с любых предписанных -независимо - наборов цифр....
Для двойки и пятерки - не катит, ибо зависимы оне (то бишь, $1, \lg2, \lg5  $)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group