Непрерывность в звёздочно-слабой топологии

[Hasek]

Цитата:

Suppose that $X$ and $Y$ are normed spaces and $L \colon X \to Y$ is a bounded linear mapping. Prove that the dual linear mapping $L^{*} \colon Y^{*} \to X^{*}$ is continuous w.r.t weak-star topologies on $X^{*}$ and $Y^{*}$ (recall that $L^{*}(\lambda) = \lambda \circ L$).

Пусть наши функционалы будут комплекснозначными. Рассмотрим некоторое открытое множество $U \subset \mathbb{C}$. $ev_x^{-1}(U) = \{ \lambda_i \}_{i \in I} \circ L$ ($ev_x$ функционалу ставит в соответствие его значение в точке $x$) открыто в $\star$-слабой топологии на $X^*$, аналогично, $ev_y^{-1}(U) = \{ \lambda_i \}_{i \in I}$ открыто $\star$-слабой топологии на $Y^*$, поскольку $(L^*)^{-1}(\{ \lambda_i \}_{i \in I} \circ L) = \{ \lambda_i \}_{i \in I}$, то $L^*$ непрерывно (прообраз открытого множества открыт). Это правильное рассуждение?

[DeBill]

Hasek
Что есть $I$ и $x$ в Вашем тексте (я полагаю, Вы переписали нечто из определения слабой топологии, забив на звездочку. И настала полная фигня...).
Чтоб разговор был предметным: укажите - конкретно - хотя бы одно открытое множество в Вашей топологии - с полной расшифровкой использованных буков.

[Hasek]

DeBill в сообщении #1182319 писал(а):

Что есть $I$ и $x$ в Вашем тексте (я полагаю, Вы переписали нечто из определения слабой топологии, забив на звездочку. И настала полная фигня...).

Нет, перепечатал я только условие задачи, а дальше уже мои мысли. Давайте тогда с самого начала на примере $Y^*$. В каждой точке $y \in Y$ можно вычислить значение любого функционала $\lambda \in Y^*$, поэтому есть отображение $ev_y \colon Y^* \to \mathbb{C}$ ($\lambda \mapsto \lambda(y)$). И звёздочно-слабая топология на $Y^*$ -- это слабейшая топология, в которой все $ev_y$ непрерывны.

DeBill в сообщении #1182319 писал(а):

Что есть $I$ и $x$ в Вашем тексте

$x$ -- некоторая точка $X$, $I$ -- счётное множество (не в смысле равномощное $\mathbb{N}$, а в том смысле, что его элементами нумеруем функционалы), по которому пробегает индекс $i$.

DeBill в сообщении #1182319 писал(а):

Чтоб разговор был предметным: укажите - конкретно - хотя бы одно открытое множество в Вашей топологии - с полной расшифровкой использованных буков.

Если выберем открытое множество в $\mathbb{C}$, например, открытый единичный круг, то его прообраз в силу указанной выше непрерывности вычисления в точке будет каким-то открытым множеством в пространстве функционалов: $\{ \lambda_i \}_{i \in I} = ev^{-1}_y (\{ z : |z| < 1 \})$.

[DeBill]

Hasek в сообщении #1182353 писал(а):

его прообраз в силу указанной выше непрерывности вычисления в точке будет каким-то открытым множеством в пространстве функционалов: .

Да. И это множество и выписано в правой части ужасного равенства.

Hasek в сообщении #1182353 писал(а):

$\{ \lambda_i \}_{i \in I} = ev^{-1}_y (\{ z : |z| < 1 \})$.

Но откуда взялась его левая часть? И ЧТО ЭТО ЗА $I$ ? И: счетными множествами как раз и называют множества, равномощные мн-ву натуральных. И вот эта гадость - и есть нехорошее заимствование от слабой топологии...
Ну да ладно. Оставим построенное Вами открытое множество (без ...), только давайте его обозначим как нибудь - прилично. Например, так: коль оно построено по точке $y$, давайте его обозначим через $V_y$. Дале, если вместо единичного круга, рассматривать произвольное открытое $U$, то его прообраз (обозначим его $V_{y,U}$) тоже должОн быть открытым. По аксиомам топологии, пересечение КОНЕЧНОГО числа открытых также есть открытое. Потому , для любого конечного набора $\{y_i\}_{i\in I}$ (здесь $I$ -КОНЕЧНОЕ множество, нумерующее ТОЧКИ из $Y$) и $\{U_i \}_{i\in I}$, пересечение множеств $V_{y_i,U_i}$ будет открытым.... Такие множества и образуют базу звездочка-слабой топологии...

(Оффтоп)

И это определение есть во всех книжках

И вот теперь можно пробовать решать Вашу задачу....

(Оффтоп)

И вот вам вопрос - когда задача будет решена: а где же Вы использовали условия задачи? Ну, то, что оператор - ограниченный?

[Hasek]

DeBill в сообщении #1182363 писал(а):

а где же Вы использовали условия задачи? Ну, то, что оператор - ограниченный?

Вот как раз это мне понятно: ограниченный оператор между нормированными пространствами является так же и непрерывным, надо использовать непрерывность $L$ как-то. Всё по отдельности ясно, но в целостную картину не собирается почему-то.

Попробую снова. Давайте возьмём произвольное открытое $U \subset \mathbb{C}$, его прообраз $ev_x^{-1} (U) = V_{x,U}$ открыт в $X^*$ в силу определения звёздочно-слабой топологии. Хотим показать, что $(L^*)^{-1} (V_x,U)$ так же открыт в $Y^*$, тогда $L^*$ непрерывно. Хочется сказать, что если $L^*(\lambda) = \lambda \circ L$, то $L^*$ непрерывно просто как композиция непрерывных функций. Всё так просто? Меня смущает, что непрерывности то ($\lambda$ и $L$) в разных топологиях на разных пространствах!

[DeBill]

Hasek в сообщении #1182373 писал(а):

Меня смущает,

И это - правильно. Потому что - но вернемся к этому потом.
А пока: ну что же Вы затормозили?

Hasek в сообщении #1182373 писал(а):

Хотим показать, что $(L^*)^{-1} (V_x,U)$ так же открыт в $Y^*$

Правильно. Для этого давайте в точности выясним, что же это за множество - расписав это все аккуратно....

[Hasek]

Если $L^* (\lambda) = \lambda \circ L$, тогда обратное отображение $(L^*)^{-1} = L^{-1} \circ \lambda^{-1}$. Получаем $(L^*)^{-1} (V_{x,U}) = L^{-1} \circ \lambda^{-1} (V_{x,U})$? Похоже, что я опять не прав, так как $L^{-1} \colon Y \to X$ и $\lambda^{-1} \colon \mathbb{C} \to Y$, то есть на вход $\lambda^{-1}$ должно попасть некоторое подмножество $\mathbb{C}$ (в данном случае, видимо, $U$), а не подмножество $X^*$.

[DeBill]

Hasek
Не, здесь $(L^{\ast})^{-1}(...)$ - прообраз (обратное может и не существовать).

(Оффтоп)

Ну, ладно, коль Вы ленитесь - (но правилами - запрещено...)
$(L^{\ast})^{-1}(V_{x,U}) = \{\sigma \in Y^{\ast} : L^{\ast} (\sigma) \in V_{x,U} \} = \{ \sigma : (L^{\ast})(\sigma) (x) \in U\} = \{ \sigma :\sigma (L(x)) \in U \} = V_{y,U}$
где $y=L(x)$ , что и дает открытость рассматриваемого множества.....

Однако, эта проверка - для открытого мн-ва весьма специального вида, а ведь там есть открытые и не такие.....

[Hasek]

DeBill в сообщении #1182531 писал(а):

Однако, эта проверка - для открытого мн-ва весьма специального вида, а ведь там есть открытые и не такие.....

Да. И, вроде как, всё, что можно сказать про произвольное открытое множество $V$ из $X^*$ это $(L^*)^{-1} (V) = \{ \omega \in Y^* \colon L^*(\omega) \in V \} = \{ \omega \colon \omega(L(x)) \in ev_x(V) \}$.

[DeBill]

Hasek
Ну куда опять нас занесло? КТО ТАКОЙ $x$? Какой конкретно вид имеет $V$?

(Оффтоп)

Уже пора вспомнить про индексное множество $I$ - теперь оно будет по делу. Только - аккуратно, пжалста

[Hasek]

DeBill в сообщении #1182622 писал(а):

Какой конкретно вид имеет $V$?

Я не совсем понимаю, что от меня требуется... Мы посмотрели, как выглядит прообраз под действием $L^*$ открытого множества из $X^*$, которое, в свою очередь, является прообразом какого-то открытого $U \subset \mathbb{C}$. Теперь хотим посмотреть на прообраз произвольного открытого $V \subset X^*$. Мне непонятно, как описать, какой вид оно имеет -- оно же на то и произвольное. Могу сделать такую попытку: $V_{x,\varphi} = \{ \psi \in X^*: |\varphi(x) - \psi(x)| < \varepsilon \}$, то есть наше открытое множество попробуем описать как множество всех функционалов, значения которых в точке $x \in X$ отличаются от "эталонного" функционала $\varphi$ не более чем на заданный $\varepsilon$.

[DeBill]

Hasek

Hasek в сообщении #1182856 писал(а):

какой вид оно имеет -- оно же на то и произвольное

Да мы же фактически получили их описание:
Это:
множества $V_{x,U}$ ;

их КОНЕЧНЫЕ пересечения (мы их где-то ране выписывали)(и полученный набор дает то, что называют БАЗОЙ топологии),

и произвольные объединения элементов базы.
Для док-ва непрерывности, нужно проверить, что прообраз любого открытого есть открытое. Так вот, такую проверку достаточно делать лишь для элементов базы. Ну, я и хотел, чтобы Вы такую проверку сделали...

(Оффтоп)

Конечно, можно сослаться на то, что прообраз пересечения есть пересечение прообразов.... Но поучительно поработать именно с "элементарными кирпичиками" из базы.

(Оффтоп)

Конечно, можно было и напрямую задействовать Ваше определение топологии - как слабейшей: определить на $Y^{\ast}$ топологию, индуцированную из топологии $X^{\ast}$ при отображении $L^{\ast}$, и сослаться на "слабейшесть". Ну, получится - но уж больно будет абстрактно...

[Hasek]

Кажется, теперь понял. База звёздочно-слабой топологии на $X^*$ состоит из множеств вида $V_{x_i,U_i}$, то есть любое открытое множество (множество из топологии) можно представить как объединение таких множеств. Итак, смотрим на прообраз произвольного открытого множества:

$$(L^*)^{-1} (\bigcup\limits_{i \in I} V_{x_i,U_i}) = \bigcup\limits_{i \in I} \{ \sigma \in Y^* : L^*(\sigma) \in V_{x_i,U_i} \} = \bigcup\limits_{i \in I} \{ \sigma \in Y^* : \sigma(L(x_i)) \in U_i \} = \bigcup\limits_{i \in I} V_{L(x_i),U_i}$$

Если множество получено не объединением, а конечным пересечением, то всё то же самое, только вместо $\bigcup\limits_{i \in I}$ будет $\bigcap\limits_{i=1}^n$. Единственное, мне не понятен смысл рассмотрения пересечений, ведь по определению база топологии -- такой набор открытых множеств, что любой элемент топологии может быть получен как объединение элементов базы. Зачем тогда рассматривать пересечения? Речь ведь о базе, а не предбазе, например.

Большое спасибо за помощь!

[DeBill]

Hasek в сообщении #1182987 писал(а):

Если множество получено не объединением, а конечным пересечением, то всё то же самое, только вместо $\bigcup\limits_{i \in I}$ будет $\bigcap\limits_{i=1}^n$.

Да.

Hasek в сообщении #1182987 писал(а):

Речь ведь о базе, а не предбазе,

Именно что, наши множества $V_{x,U}$ образуют предбазу, но не базу. Потому надо рассматривать и (конечные) пересечения элементов предбазы, и (любые) объединения элементов базы...

[Hasek]

Хорошо, всё понял. Ещё раз спасибо!