2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 21:04 


30/10/06
33
mihiv в сообщении #1182538 писал(а):
Так может быть подойдет просто набор тригонометрических функций: $\cos 2\pi nx, \sin 2\pi nx, n=0, 1,\dots $. Ортогональность здесь есть, 1 входит в набор.

Верно, подойдет. Но для полного счастья хотелось бы еще и третье условие - $P_1(x)=x$. Т.е. когда два младших базис-вектора фиксированы, а все остальные свободны. Я это условие в самом начале обговорил, но в предыдущем объяснении упоминать его не стал, чтобы более выпукло продемонстрировать проблему, порождаемую весовой функцией. Т.к. для базис-вектора $P_0(x)=1$ она очевидна, а для $P_1(x)=x$ уже не очень.

Что касается гармонического ряда (испытывал как базис преобразования Фурье, так и базис косинусного преобразования), то аппроксимация ими линейного тренда $у=x$ выглядит ужасно - в ней участвует весь базис без остатка, а хотелось бы экономного варианта, когда такая простая функция аппроксимируется парой базисных векторов.

-- Сб янв 07, 2017 22:18:31 --

sergei1961 в сообщении #1182546 писал(а):
Тогда остаётся Грамм-Шмидт с двумя фиксированными Вами функциями и далее практически произвольный набор, хоть полиномы, хоть нет. Эти наборы устраивают, или тоже нет?

Да, именно этого я и хотел - два базис-вектора фиксированы (с самого начала ортогональны), а третий (на большее я сейчас замахиваться боюсь, чтобы не сглазить) - что-нибудь экзотическое, желательно смахивающее на гауссиану (в центре толще, чем на краях).

Однако вот в чем беда - если я добавлю к двум моим заданным базис-векторам третий (хотя бы ту же гауссиану), а затем применю ортогонализацию по Грамму-Шмидту, то ортогональный базис я получаю, но той ценой, что оба моих базис-вектора разрушаются (приобретают другую форму). А как применить Грамма-Шмидта так, чтобы младшую пару векторов (которую я решил зафиксировать) он не трогал, я не знаю как. Тем более что третий вектор, взятый наобум, сильно коррелирует с первой парой векторов. А если эту корреляцию обрезать (куда же ее еще девать, если эта пара зафиксирована?), то третий вектор превратится в ... третий вектор Лежандра!

-- Сб янв 07, 2017 22:29:54 --

Slav-27 в сообщении #1182476 писал(а):
Вместо $P_3$ и $P_4$ читайте $L_3$ и $L_4$: это многочлены Лежандра (обычные) нормированные на единицу.
Вы можете сделать, например, так: $P_0=L_0$, $P_1=L_1$, $P_2=\frac1{\sqrt2}(L_2+L_3)$, $P_3=\frac1{\sqrt2}(L_2-L_3)$, $P_n=L_n$ при $n\geqslant 4$. Хвост можно портить дальше.

Спасибо, вашу идею понял. В самом деле, можно совершать повороты на любой угол в любых плоскостях, перпендикулярных плоскости, образуемой парой векторов $P_0 - P_1$. Эта операция, кажется, носит название "плоское вращение Гивенса". В матричной алгебре это парная операция между парой столбцов. И если столбцы, принадлежащие двум младшим базис-векторам, не трогать, то они действительно сохранятся, тогда как старшие базис-вектора "поплывут". Ортогональность системы при этой операции сохраняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 21:38 
Заслуженный участник


11/05/08
31255
Oam в сообщении #1182551 писал(а):
Но для полного счастья хотелось бы еще и третье условие - $P_1(x)=x$.

Да далсЯ Вам этот икс. Возьмите лучше вместо него экспоненту. Просто чистую экспоненту. Замечательная ведь функция -- и с замечательными свойствами!

А в качестве начальной -- функцию Макдональда. Тоже очень хорошая функция.

Собственно, уже на первой страничке стало ясно, что Вы троллите. На второй это стало очевидным. Ну а тут, на третьей -- уже и неинтересным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 21:40 


30/10/06
33
ewert в сообщении #1182561 писал(а):
Собственно, уже на первой страничке стало ясно, что Вы троллите. На второй это стало очевидным. Ну а тут, на третьей -- уже и неинтересным.

Ну зачем вы так... Извините, если что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 21:46 
Заслуженный участник


11/05/08
31255
Oam в сообщении #1182564 писал(а):
Ну зачем вы так... Извините, если что.

Это, кстати -- ещё один признак. Заведомо бессмысленный пост. Поскольку первая фраза заведомо не требует никаких дальнейших извинений. А вот для троллей -- сочетание типично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 22:23 


30/10/06
33
ewert в сообщении #1182567 писал(а):
Это, кстати -- ещё один признак. Заведомо бессмысленный пост. Поскольку первая фраза заведомо не требует никаких дальнейших извинений. А вот для троллей -- сочетание типично.

К вашему сведению, я на этом форуме уже как 10 лет зарегистрирован (на 2 года раньше вас). И если бы был я троллем, то за это время успел бы всем надоесть. А что пишу сюда редко, то только потому, что свои проблемы привык решать сам. Но в данном случае мне потребовал совет математика, т.к. сам я не математик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 22:36 


25/08/11

1074
Про ортогонализацию по Г-Ш. Да выберем две первых Ваших функции, 1 и x. Они ортогональны, не надо их уже ортогонализировать. Процесс начнём с третьей-любой. Будут три, две первых-как Вы хотите, и все друг другу ортогональны. Две первые не испортятся, не бойтесь, - я вот про что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 22:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31255

(Оффтоп)

Oam в сообщении #1182583 писал(а):
И если бы был я троллем, то за это время успел бы всем надоесть.

Ну вот мне лично Вы надоели гораздо раньше. Ибо за три странички не уметь сформулировать вопрос -- это надо уметь. Чего Вам нужно-то, -- чего Вы собственно добиваетесь?...

Пока что от Вас никаких сообщений на этот счёт не поступало. Да, Вам хочется какого-то святого Грааля. Да, какой-то мистической ортогональности. Но вот с какой стати хочется, и на какого хрена -- вот этих сообщений не поступало ни разу.

А раз не поступало сообщений -- то как и относиться к Вам, извините?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение09.01.2017, 01:19 
Заслуженный участник


10/01/16
1347
Oam
Можно рассмотреть гибридную систему: четные функции - из тригонометрической, и нечетные - из Лежандра.
Она ортогональна (на симметричном отрезке - четные ортогональны нечетным), полна - из-за возможности четного-нечетного продолжения, содержит единичку и "икс", и даже все расчетные формулы сохранятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение09.01.2017, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5500
Москва

(Оффтоп)

Чего-то с меня фуражка прапорщика Ясненько, старшины роты к-на Очевидность, спадает...

Так ведь тождественно равная единице весовая функция - она тоже весовая функция.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group