2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачи по теории меры
Сообщение08.01.2017, 22:50 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Цитата:
(a) Find the Lebesgue measure of the set of $x \in [0;1]$ such that there exists a decimal representation of $x$ that does not contain the digit $3$.
(b) Find the Lebesgue measure of the set of $x \in [0;1]$ such that no decimal representation of $x$ contains the digit $3$.


(a) Обозначим за $A_n$ множество чисел из $[0;1]$, таких, что существует их десятичная запись, не содержащая $3$ среди первых $n$ цифр после запятой. Сразу видно, что $A_{n+1} \subset A_n$ и $\mu(A_{n+1}) = \frac{9}{10} \mu(A_n)$. Так как $A = \lim\limits_{n \to \infty} \cap_{i=1}^n A_i$, то $\mu(A) = \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{9}{10})^n = 0$.
(b) Просто скажем, что множество из пункта (b) должно быть подмножеством множества из пункта (a), но подмножество множества меры нуль тоже имеет меру нуль.

Цитата:
Suppose that $S$ is a family of measurable functions from $[0;1]$ to $\mathbb{R}$ (by measurable we mean measurable w.r.t. the Lebesgue measure). Put $f(x) = \sup\limits_{f \in S} f(x)$ ($f(x)$ may be equal to $+\infty$).
(a) Prove that $f$ is measurable whenever $S$ is countable.
(b) Prove that this is not the case in general if $S$ is uncountable.


(a) Начать, пожалуй, можно с того, что $f$ измерима тогда и только тогда, когда $f^{-1}((-\infty,a))$ является борелевским подмножеством вещественной прямой $\forall a \in \mathbb{R}$. И вот дальше непонятно, как доказывать измеримость, и что ломается в случае несчётного семейства функций $S$. Ведь супремум можно взять и по несчётному множеству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории меры
Сообщение08.01.2017, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
$f^{-1}((-\infty,a])=\{x |f(x) \leq a\}=\bigcap\limits_{g \in S} \{x | g(x) \leq a \} $. Отсюда видно, почему свойство измеримости сохраняется для супремума счетного семейства и как его нарушить для несчетного семейства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории меры
Сообщение09.01.2017, 13:47 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Благодарю, разобрался. Здесь важно, что сигма-алгебра замкнута относительно счётного объединения или пересечения своих элементов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group