2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Корень из семи
Сообщение06.01.2017, 14:04 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Маленькая задача на изобретательность: вычислить руками $\sqrt 7$ настолько точно, насколько Вы можете. Решение должно легко воспроизводиться в уме.

Мое первое решение: $2.6^2 = 6.76$.
$$(2.6+\Delta x)^2 \approx 6.76 + 5.2\Delta x$$
$$\Delta x \approx 0.24/5.2 = 3/65 \approx 3/60 = 0.05.$$

$\sqrt 7 \approx 2.65$. 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из семи
Сообщение06.01.2017, 14:18 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Подсчитаем $2.645^2$.
$264\cdot265=265^2-265$ и $26\cdot27=27^2-27=729-27=702$.
Поэтому $264\cdot265=265^2-265=70225-265=69960$ и окончательно $2.645^2=6.996025$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из семи
Сообщение06.01.2017, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Уже написали, но можно то же чуть проще, имхо (требует меньше ячеек памяти):
$264\cdot 265=132\cdot 530 = 66\cdot 1060 = 66000+3960=69960$.

 Профиль  
                  
 
 Подспорье
Сообщение06.01.2017, 15:00 


11/07/16
801
Для дальнейших попыток см. результаты поиска и картину. Удачи, господа!

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из семи
Сообщение06.01.2017, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
И, кстати, учитывая, что 2,650 даёт перелёт на 0,0225, а 2,645 -- недолёт на ~0,0040 можно последнюю цифру 2,645 увеличить на $5\cdot 40/265$ до примерно 2,64575.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из семи
Сообщение06.01.2017, 18:33 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
$\sqrt 7=\dfrac {\sqrt {63}}3, \sqrt {63}=\sqrt {64-1}\approx 8(1-\frac 1{128})= 7,9375$. Отсюда $\sqrt 7\approx 2.6458$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из семи
Сообщение06.01.2017, 19:55 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
По итерационной формуле $x_{n+1} =\frac{1}{2}(x_n + \frac{7}{x_n})$ с начальным приближением $x_0 = \frac{5}{2}$ находим
$x_1 = \frac{53}{20} =2.65$
$x_2= \frac{5609}{2120}$
и $x_2^2 - 7 = \frac{9}{4494400}\approx 0.000002$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из семи
Сообщение07.01.2017, 18:22 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
DeBill в сообщении #1182325 писал(а):
По итерационной формуле $x_{n+1} =\frac{1}{2}(x_n + \frac{7}{x_n})$
+1, сходится со страшной силой.

Почти такой же способ, только метод Ньютона знать не надо:
как найти $\sqrt{a}$? находим $\frac{x}{y}$: $\left|\sqrt{a}-\frac{x}{y}\right|=\epsilon<1$, потом берем выражение $x-y\sqrt{a}$, квадрируем $k$ раз, приравниваем 0, выражаем $\sqrt{a}$. Скорость сходимости такая же как у метода Ньютона, точность $\epsilon^{2^k}$:
$(2\sqrt{7}-5)^2=53-20\sqrt{7}$
...

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из семи
Сообщение07.01.2017, 19:29 


25/08/11

1074
А наших бабушек и дедушек (или даже пра-?) учили извлекать корень в столбик, как нас учат делить, механически. Мне кажется, это был законспирированный метод Ньютона, который тут применили, хотя я не видел подробного анализа, да и само правило есть только в нескольких старых книгах. Или есть более современные книги?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из семи
Сообщение08.01.2017, 08:45 
Заслуженный участник


20/08/14
11059
Россия, Москва
sergei1961 в сообщении #1182516 писал(а):
Или есть более современные книги?
В книгах не думаю, а вот в вики вполне себе есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из семи
Сообщение08.01.2017, 09:35 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
DeBill в сообщении #1182325 писал(а):
и $x_2^2 - 7 = \frac{9}{4494400}\approx 0.000002$

Ого, так быстро сходится! Ничего себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из семи
Сообщение09.01.2017, 06:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
А вот так
$x_{n+1}=x_n \cdot \frac{x_n^2 + 21}{3x_n^2 + 7}$
$x_0=\frac{8}{3}$
$x_1 = \frac{8}{3} \cdot \frac{253}{255}$
$x_1^2 - 7 = \frac{1}{585225}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group