2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как рассказать о движениях?
Сообщение07.01.2017, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Собираюсь читать лекцию учителям по теме "Движения плоскости". Вылезают разные сложности в самом начале.

Например, как показать на школьном, но достаточно строгом уровне, что движение (изометрия) плоскости в себя сюръективно? То же, конечно, для прямой.

По сути это следствие довольно нетривиальных структур, существующих на плоскости. Скажем, размерности (в смысле векторных пространств.. а то и в топологическом смысле).

Времени мало, углубляться в основания геометрии не хочется. Как бы обойтись "малой кровью"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение07.01.2017, 18:02 
Аватара пользователя


08/08/14

991
Москва
"Ясно без обоснования."

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение08.01.2017, 21:45 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ткну пальцем в небо: например, можно сначала доказать про разложение движения в композицию отражений, а уж доказать то, что одно отражение сюръективно, и что композиция сюръекций сюръективна — понятно, просто.

Эх, жалко, нам таких словей в школе не говорили. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение08.01.2017, 23:34 


19/05/10

3940
Россия
Ну это просто. Берем базис ортогональный, он куда то переходит (в ортогональный базис). Ну и находим по проекциям прообраз сразу.
Хотя лучше так: Вот движения (сослаться на конкретное место, например, в Погорелове). Так как мы люди взрослые, выведем общую формулу этих самых движений (там три строчки). Отсюда сразу видна взаимная однозначность и куча, как сейчас говорят, всякого другого профита.

(Оффтоп)

Учителя люди простые и к земле приближенные, нафига им эти слова дурацкие - сюръекция, биекция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение08.01.2017, 23:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Я ещё проще скажу: движение бывает как вперёд, так и взад. И каждому движению взад (да пусть хоть и тождественному) отвечает соотв. движение вперёд.

А вот зачем это может понадобится учителям -- не скажу, даже под пытками. Т.к. не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Может, сначала рассказать учителям о программе Клейна соответствия геометрий и групп преобразований, а потом сообщить им, что движения - это как раз группа преобразований, отвечающая Евклидовой геометрии, которую они преподают школьникам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 00:36 


19/05/10

3940
Россия
ewert в сообщении #1182879 писал(а):
Я ещё проще скажу: движение бывает как вперёд, так и взад. И каждому движению взад (да пусть хоть и тождественному) отвечает соотв. движение вперёд...
Тут надо учитывать определение движения. По Погорелову - это преобразование, сохраняющее расстояние. Обратное в этом случае вроде не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 00:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mihailm в сообщении #1182883 писал(а):
По Погорелову - это преобразование, сохраняющее расстояние. Обратное в этом случае вроде не очевидно.

А тождественное его и сохраняет. Что даже нетрудно и доказать. И чего ещё желать?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 00:46 


19/05/10

3940
Россия
Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 01:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mihailm в сообщении #1182887 писал(а):
Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?

Вообще-то да. Оно же заведомо невырожденно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 05:26 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Довелось слышать одно шедевральное описание движений.

Нарисуем палкой на земле треугольник. Инвариантность евклидовой геометрии относительно поворота означает, что мы с задумчивым выражением лица можем ходить вокруг треугольника, и при этом с какого бы ракурса мы ни смотрели, мы будем изучать принципиально один и тот же объект!

А инвариантность переноса, сооответственно, означает, что мы можем отходить от треугольника налево, направо, назад и т. д.

Теперь нарисуем маркером треугольник на стеклянной стене между двумя комнатами. Мы можем изучать треугольник, перемещаясь из комнаты в комнату, и при этом мы будем изучать принципиально один и тот же объект. Это инвариантность относительно отражения. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ого! Пока я тут в поте лица корпела над лекциями, много чего написали! Спасибо!

ewert в сообщении #1182879 писал(а):
А вот зачем это может понадобится учителям -- не скажу, даже под пытками. Т.к. не знаю.
Ну.. это курсы по олимпиадным задачам. Видимо, потом эти учителя у себя будут кружки вести. Темы выбираем мы (лекторы) сами... А мне не нравится просто задачки решать... это же море разливанное... утонуть можно. Хотелось туда всунуть чего-нибудь теоретическое. А так как мне нравятся группы -- вот на них и ориентируюсь.
Поговорю о целочисленных задачах с выходом на алгебру остатков и всякое малое Ферма. Поговорю о решении геометрических задач с помощью движений.
Ну, а потом -- хлоп: а тут есть общие идеи. Но, конечно, если увижу что им это не надо -- сильно углубляться не буду.

mihailm в сообщении #1182887 писал(а):
Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?
Вот и я о том же! В смысле, обратное-то есть. Но из образа плоскости. Но кто сказал, что образ -- не какой-нибудь круг? Или прямая? Нет, очевидно, что не так. Ну, а как доказать? Пока решила сослаться на метод координат...

-- 09.01.2017, 19:20 --

Brukvalub в сообщении #1182880 писал(а):
Может, сначала рассказать учителям о программе Клейна соответствия геометрий и групп преобразований, а потом сообщить им, что движения - это как раз группа преобразований, отвечающая Евклидовой геометрии, которую они преподают школьникам?
Да, это обязательно! Я, впрочем, в прошлый раз (осенью) рассказывала им про аффинную геомтерию, примерно в таком же ключе (через преобразования и инварианты) Но напомнить не помешает!

-- 09.01.2017, 19:22 --

arseniiv в сообщении #1182840 писал(а):
например, можно сначала доказать про разложение движения в композицию отражений,

Я долго мучилась, переставляла материал и так и сяк. Эту теорему я доказываю, но все-таки в конце. И надо ещё внимательно посмотреть, не опирается ли доказательство само на факт сюръективности. Ну... наверное, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 20:11 


19/05/10

3940
Россия
ewert в сообщении #1182890 писал(а):
mihailm в сообщении #1182887 писал(а):
Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?

Вообще-то да. Оно же заведомо невырожденно.
Не, это чепуха. Линейности, то пока нет.

-- Пн янв 09, 2017 20:13:51 --

provincialka в сообщении #1183082 писал(а):
...Вот и я о том же! В смысле, обратное-то есть...
provincialka, я же доказал вам сюръективность в первом сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
mihailm в сообщении #1183120 писал(а):
я же доказал вам сюръективность в первом сообщении.

Да. И я согласилась с такой версией доказательства (потому что это и есть координаты). Просто мне хотелось как-то без лишних сущностей... Поизящнее, минимальными средствами... Впрочем, лучшее -- враг хорошего!

Всем спасибо! Завтра иду читать (и послезавтра).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group