2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Асимптотика частичной суммы ряда Фурье
Сообщение03.01.2017, 20:18 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Требуется найти каким условиям должны удовлетворять коэффициенты суммы при выполнении равенства: $\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ne^{i\omega nT}}{T}=i\omega$.
При малых $T$ представим $e^{i\omega n T}\approx 1+i\omega nT$, тогда $\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ne^{i\omega nT}}{T}=\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n+\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ni\omega nT}{T}$. Для выполнения заданного равенства можно выбрать коэффициенты так, чтобы $\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n=0$ и $\sum\limits_{n=-N}^{N}nC_n=1$.

Посмотрите пожалуйста нет ли какого безобразия в рассуждениях?

Можно ли быть уверенным, что коэффициенты $C_n$ не могут быть выбраны каким-либо ещё, не указанным здесь, способом?

Нет ли какого способа убедиться в единственности или найти другие условия для коэффициентов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика частичной суммы ряда Фурье
Сообщение03.01.2017, 22:04 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Нормально всё. Чтобы совсем всё стало понятно, можно расписать

$\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ne^{i\omega nT}}{T}=\lim\limits_{T\to 0}\frac{1}{T}\left(\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n+\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n(\cos n\omega T -1 )+i\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n \sin n\omega T\right)$: 2-е и 3-е слагаемое имеют понятно какой предел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика частичной суммы ряда Фурье
Сообщение03.01.2017, 22:09 


25/08/11

1074
Может Лопиталем сразу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика частичной суммы ряда Фурье
Сообщение03.01.2017, 22:15 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Сумма частичная, то есть предполагается, что $N$ может меняться? Но тогда могут нарушиться условия на коэффициенты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика частичной суммы ряда Фурье
Сообщение03.01.2017, 23:20 


25/08/11

1074
Так Лопиталем к исходной дроби-получается или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика частичной суммы ряда Фурье
Сообщение03.01.2017, 23:55 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
sergei1961 в сообщении #1181764 писал(а):
Так Лопиталем к исходной дроби-получается или нет?

Получается, конечно. Но для Лопиталя нужно, чтобы числитель дроби $\to 0$. Это как раз дает 1-е условие: $\sum \limits _{-N}^{N}C_n=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика частичной суммы ряда Фурье
Сообщение05.01.2017, 11:26 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Спасибо всем, кто откликнулся, но сомнения мои не развеялись.

Сейчас для меня логика выглядит так, что если выполняются условия $\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n=0$ и $\sum\limits_{n=-N}^{N}nC_n=1$, то $\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ne^{i\omega nT}}{T}=i\omega$.

А вот в обратную сторону у меня не получается логики. По моему пути или по пути Slav-27 от предела суммы ведь честно нельзя перейти к сумме пределов, когда предела одного из слагаемых нет, но это и не означает что предела всей суммы нет. То же самое с правилом Лопиталя - неопределённость нужно подогнать. А так хотелось бы доказать, что и из выполнения $\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ne^{i\omega nT}}{T}=i\omega$ следует единственный выбор $\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n=0$ и $\sum\limits_{n=-N}^{N}nC_n=1$.

Или я всё же не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика частичной суммы ряда Фурье
Сообщение05.01.2017, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
profrotter в сообщении #1182017 писал(а):
Или я всё же не прав?
Неправы. Поскольку Ваша сумма есть $A+i\omega BT+O(T^2)$, где$ A=\sum C_n$ , $B=T\sum nC_n$, и епредел существует и равен $i\omega$, тогда и только тогда когда $A=0, B=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика частичной суммы ряда Фурье
Сообщение05.01.2017, 12:23 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Спасибо. Значит всё гораздо лучше, чем я думал! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика частичной суммы ряда Фурье
Сообщение05.01.2017, 12:42 


25/08/11

1074
Хочу ещё поупорствовать с пр. Лопиталя. Мне кажется, оно даёт не одно, а два условия, которые нужны. Раз есть предел, то числитель тоже стремится к нулю-первое условие на коэффициенты. Применяем правило, то, что предел равен заданному числу,-второе условие на коэффициенты. Не так?
Кстати, в Зориче есть усиленные варианты пр.Л., в них от числителя вообще ничего не надо. Возможно тут можно применить, чтобы получить более слабые условия и покрасоваться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group