2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение03.01.2017, 22:58 


26/08/14
12
В любом определении предела функции в точке, предполагается, что точка является предельной для множества определения этой функции. Затем говорится, что для существования предела в точке необходимо и достаточно существования и равенства между собой обоих двусторонних пределов в этой же точке. Рассмотрим любую постоянную функцию $f(x)$ на $[0, 1]$. Точка $0$ - предельная для отрезка. Предел в этой точке существует, но нет левостороннего предела, т.к. $0$ не является предельной точкой для $[0, 1]\cap(-\infty, 0)$. В чем ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение03.01.2017, 23:22 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Roman___ в сообщении #1181759 писал(а):
$0$ не является предельной точкой для $[0, 1]\cap(-\infty, 0)$.
Является.

Пишите формулы нормально (посмотрите, как я исправил в цитате) -- и вас удобно будет цитировать.

 i  Lia: Да, пожалуйста. А нам не придется править.

 Профиль  
                  
 
 Re: Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение03.01.2017, 23:39 


26/08/14
12
Спасибо за исправление.
Почему является, если пересечение пусто? Замыкание пустого множества - пустое множество, значит $0$ - не предельная точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение03.01.2017, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Roman___, выпишите здесь определение предельной точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение03.01.2017, 23:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Roman___ в сообщении #1181759 писал(а):
В любом определении предела функции в точке, предполагается, что точка является предельной для множества определения этой функции.

Не в любом определении. Во многих предполагается, что функция определена тупо в выколотой окрестности этой точки или хотя бы в односторонней выколотой. Поскольку для подавляющего большинства приложений этого и достаточно.

Roman___ в сообщении #1181759 писал(а):
Предел в этой точке существует, но нет левостороннего предела, т.к. $0$ не является предельной точкой для $[0, 1]\cap(-\infty, 0)$. В чем ошибка?

Ну попросту эту ситуацию теорема о равенстве лево- и правосторонних пределах не охватывает, вот и всё. Соотв., и никаких ошибок.

Вы удивитесь, но такие ситуации типичны. Для функций нескольких (ну хотя бы двух) переменных понятие одностороннего предела вообще лишено хоть какого-то практического смысла. Просто потому, что понятие координат -- условно (геометрически не инвариантно). В отличие от понятия предела вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение04.01.2017, 01:30 


26/08/14
12
Brukvalub в сообщении #1181769 писал(а):
Roman___, выпишите здесь определение предельной точки.

На $\mathbb{R}$ такое: $X \subset \mathbb{R}  \forall U(x): U(x) \cap X \ne \varnothing  $ ($U(x)$ - проколотая окрестность $x$)
ewert, спасибо! В общем я так и рассуждал, но есть определения, например, как здесь https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 0%BA%D0%B0 , да и во многих других местах, где не предполагается, что функция задана в проколотой окрестности точки, а только предельность этой точки. А дальше утвержается та теорема о равенстве пределов. Пока что единственное корректное определение этой теоремы видел в Фихтегольце (там явно требуется, чтобы точка была предельной справа и слева одновременно), а в Зориче она вообще не рассматривается, если память не изменяет. Надо будет глянуть в других учебниках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение04.01.2017, 01:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Roman___ в сообщении #1181790 писал(а):
На $\mathbb{R}$ такое: $X \subset \mathbb{R}  $\forall$ U(x): U(x) \cap X \ne \varnothing  $ ($U(x)$ - проколотая окрестность $x$)

Это не определение, а кусок чего-то там. Видимо, вы правильного определения не знаете, поэтому и путаетесь в отыскании предельных точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение04.01.2017, 01:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Roman___ в сообщении #1181790 писал(а):
Пока что единственное корректное определение этой теоремы видел в Фихтегольце (там явно требуется, чтобы точка была предельной справа и слева одновременно),

Это некоторая ловля блох. Естественно, для определения односторонних пределов нужно, чтобы с каждой стороны существовала какая-то часть области определения, для которой эта точка была бы предельной. Однако на практике никому эта возня с областями определения не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение04.01.2017, 01:56 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Доллар в начале формулы. Доллар в конце. В середине - не надо.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.
 i  GAA:
Вернул.

 Профиль  
                  
 
 Re: Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение04.01.2017, 09:43 


26/08/14
12
Brukvalub в сообщении #1181794 писал(а):
Это не определение, а кусок чего-то там. Видимо, вы правильного определения не знаете, поэтому и путаетесь в отыскании предельных точек.

Обычное определение для числового множества.

ewert в сообщении #1181798 писал(а):
Это некоторая ловля блох. Естественно, для определения односторонних пределов нужно, чтобы с каждой стороны существовала какая-то часть области определения, для которой эта точка была бы предельной. Однако на практике никому эта возня с областями определения не нужна.

Любая точная формулировка теоремы - ловля блох. Если функция достаточно хороша, то это должно указываться в условиях, иначе теорема просто неверна. Такой типичный пример из учебника, как функция Дирихле, тоже, по сути, ловля блох в определении непрерывности, однако для полного понимания этого определения именно эти кривые примеры и нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение04.01.2017, 17:32 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Roman___
Определение такое: $x$ -- предельная точка множества $X\subset \mathbb R$, если любая проколотая окрестность точки $x$ в $\mathbb R$ содержит точки из $X$. А вы написали, действительно, что-то непонятное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение04.01.2017, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Roman___ в сообщении #1181825 писал(а):
Любая точная формулировка теоремы - ловля блох. Если функция достаточно хороша, то это должно указываться в условиях, иначе теорема просто неверна. Такой типичный пример из учебника, как функция Дирихле, тоже, по сути, ловля блох в определении непрерывности

Может, вам сразу хфилософией заняться? У вас получается! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Односторонние и обыкновенные пределы
Сообщение04.01.2017, 21:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Roman___ в сообщении #1181825 писал(а):
Любая точная формулировка теоремы - ловля блох.

Речь вовсе не о точности, а о нужности. В обычном анализе совсем произвольные области определения, в общем, не нужны. А точными (как и неточными) могут быть формулировки что общие, что частные -- с равным успехом. При этом общие (пусть и предельно точные) могут оказаться вредны попросту потому, что рассеивают внимание.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group