Линии уровня положительно однородной функции

[Mikhail Sokolov]

Пусть $f:\mathbb{R}^n_{++} \rightarrow \mathbb{R}_{++}$, $n \geq 3$ - строго возрастающая по каждому из аргументов, положительно однородная ($f(\lambda x)= \lambda f(x)$, для любого $\lambda > 0$) функция. Обозначим $L=\{ x=(x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n_{++} \mid f(x)=1} \}$ (линия уровня), $L_1= \{ x_1 \mid \exists (x_2,...,x_n): (x_1,...,x_n) \in L \}$ (проекция множества $L$ на 1-ю ось).
Требуется доказать (или опровергнуть), что для любых $x_1,x_1' \in L_1$ найдутся $x_2,...,x_{n-1},x^*_n$ и $x'_2,...,x'_{n-1},x^*_n$, такие, что $(x_1, x_2,...,x_{n-1},x^*_n), (x_1',x_2',...,x_{n-1}',x^*_n) \in L$.

Спасибо.

[Brukvalub]

Вопрос: в скольких точках на каждом луче, выходящем из начала координат в положительный "октант" можно произвольно задать положительно-однородную функцию?

[Mikhail Sokolov]

В одной.

[Brukvalub]

Верно. Попробуйте использовать этот факт для решения задачи.

[Mikhail Sokolov]

Небольшая неточность в формулировке задания: вместо "найдутся $x_2,...,x_{n-1},x_n^*$ и $x_2',...,x_{n-1}',x_n^*$" следует читать "найдутся $x_2,x_2',...,x_{n-1},x_{n-1}'$ и $x_n^*$".

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Mikhail Sokolov в сообщении #1181672 писал(а):

Небольшая неточность в формулировке задания: вместо "найдутся $x_2,...,x_{n-1},x_n^*$ и $x_2',...,x_{n-1}',x_n^*$" следует читать "найдутся $x_2,x_2',...,x_{n-1},x_{n-1}'$ и $x_n^*$".

Что же вы так! Это же полностью меняет суть дела!