2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тройка чисел
Сообщение30.12.2016, 17:59 


24/12/13
351
Существуют ли натуральные числа $a,b,c,d$ для которых
1) $c|ab$
2) $d^2<a,b,c<d^2+d+3\sqrt{d}$
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройка чисел
Сообщение30.12.2016, 18:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
$5,5,5,2$ или $18,20,24,4$.
Наверное, выражение $c|ab$ надо понимать не как $c$ делит $ab$, а наоборот.
Но если $ab|c$, то подойдёт $2,2,4,1$. Впрочем, это единственное решение для такого случая.
Что-то я не так понял :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройка чисел
Сообщение30.12.2016, 21:18 


24/12/13
351
А что если a,b,c различны?

-- 31.12.2016, 00:20 --

Я имел ввиду $ab$ делится на $c$. А что неправильно я написал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройка чисел
Сообщение30.12.2016, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Вы правильно написали. Но в такой формулировке задача слишком проста. Даже если добавить требование различности чисел, пример привести легко, и я его привёл. (В случае, если требование было бы $ab|c$ то решений не будет, только одно с совпадением).
Но задача интересна. Только лучше её так поставить: для каких натуральных $d$ существуют различные натуральные $a,b,c$ такие, что $c|ab$. Для $d=1$ решений нет. Слишком маленький интервал. Для $d=2$ решение $5,6,10,2$ или $5,8,10,2$. А потом начинается интересное. Для $d=3..8$ можно явную формулу привести. Совсем чуть-чуть подаказывать надо. А вот дальше на основе этой формулы можно и для других $d$ подумать :-) Но там чуть сложнее. Правда не сложнее квадратичных неравенств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройка чисел
Сообщение31.12.2016, 02:27 


24/12/13
351
Для d=1 решение есть

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройка чисел
Сообщение31.12.2016, 03:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ну да, есть решение $3,4,2,1$. Я с чего-то решил, что $a<b<c$ :-) .
Ну так в чём задача? Доказать, что для каждого $d$ есть решение? Или найти $d$, для которых троек нет? Или показать, что количество четвёрок — кстати, почему в названии "тройки" — бесконечно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройка чисел
Сообщение31.12.2016, 07:08 


24/12/13
351
Надо найти наибольшее такое $d$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройка чисел
Сообщение01.01.2017, 03:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ну, Слава Основателю, 2017 ещё допускает существование тройки, с чем нас и поздравляю :-)
(хотя почему "ещё"? Для "ещё" надо условие на $d$ пошевелить).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group