Дифференциальное уравнение -2

[Charlz_Klug]

Задача:
Решить дифференциальное уравнение $(2y-x+1)dx + (4y-2x+6)dy = 0$.

Решение:
Вводим замену $2y-x = z$, тогда $y = \frac {z+x} {2}$. И уравнение принимает вид $dx + \frac {z+3} {2(x+2)} dz = 0$. Интегрируя обе части получаем $x + \frac {z + \ln{|z+2|}} {2} = C$, возвращаем подстановку: $x + 2y + \ln{|2y-x+2|} = C_2$, где $C_2 = 2 C$. Отсюда получаем $2y-x+2 = \frac {C_3} {e^{x+2y}}$, где $C_3 = e^{C_2}$. В учебнике дан ответ $2y-x+2 = Ce^{x+2y}$. Я правильно решил задачу?

-- 30.12.2016, 19:21 --

Если я всё правильно понял, то $Ca^x=Ca^{-x}$, тогда $\frac {C_3} {e^{x+2y}} = C_4 e^{x+2y}$. В этом случае всё сходится.

[Лукомор]

Ну, это на любителя...
Я бы сразу сделал подстановку $z=2y-x+2$...
А там... как повезет...

[Charlz_Klug]

Лукомор в сообщении #1181057 писал(а):

Ну, это на любителя...

А что именно на любителя? Не понял.

[iifat]

На любителя

Charlz_Klug в сообщении #1181038 писал(а):

Если я всё правильно понял

Нет, вы поняли неправильно. Эти два решения совершенно различны. Кто-то из вас потерял знак. Вроде у вас всё верно, но не ручаюсь. Стоит попробовать проверить подстановкой.

[Лукомор]

Charlz_Klug в сообщении #1181074 писал(а):

А что именно на любителя? Не понял.

И не надо понимать...
Это была как бы шутка.
Надо было снабдить смайликом и вообще убрать в оффтопик.
Имелось в виду, что,
поскольку у Вас уравнение имеет вид
$(2y-x+1)dx +2 (2y-x+3)dy = 0$,
то я бы для подстановки выбрал
$z=2y-x+2$
из соображений эстетических,
так, чтобы свободный член в выражении для $z$,
был средним между свободными членами в скобках при $dx$ и $dy$
Выражение "на любителя" относилось исключительно к Вашему
$z=2y-x$

[Charlz_Klug]

Проверил моё решение $\text{---}$ всё верно. Ход проверки:
$2y-x+1 = 2y-x+2-1 = \frac {C} {e^{x+2y}} - 1$;
$4y-2x+6 = 2(2y-x+3) = 2(2y-x+2+1) = 2(\frac {C} {e^{x+2y}} + 1)$;
Находим $y'$:
$(2y-x+2)' = (\frac {C} {e^{x+2y}})' \Rightarrow 2y'-1 = C(e^{-(x+2y)})' = C e^{-(x+2y)}(-x-2y)' = C e^{-(x+2y)}(-1-2y') \Rightarrow -2y'+1 = \frac {C(1+2y')} {e^{x+2y}} \Rightarrow 1-2y' = \frac{C}{e^{x+2y}} + \frac{2y' C}{e^{x+2y}} \Rightarrow$
$1-\frac{C}{e^{x+2y}} = \frac{2y'C}{e^{x+2y}} + 2y' = 2y'(1+\frac{C}{e^{x+2y}}) \Rightarrow$
$\frac{e^{x+2y}-C}{e^{x+2y}} = 2y' \frac{e^{x+2y}+C}{e^{x+2y}} \Rightarrow$
$e^{x+2y}-C=2y'(e^{x+2y}+C) \Rightarrow y'=\frac{e^{x+2y}-C}{2(e^{x+2y}+C)}$
Теперь всё подставляем в левую часть уравнения:
$(\frac{C}{e^{x+2y}}-1)dx + 2(\frac{C}{e^{x+2y}}+1)\frac{e^{x+2y} -C}{2(e^{x+2y}+C)}dx = \frac{C-e^{x+2y}}{e^{x+2y}}dx + \frac{C+e^{x+2y}}{e^{x+2y}}\frac{e^{x+2y}-C}{e^{x+2y}+C}dx=\frac{C-e^{x+2y}}{e^{x+2y}}dx+\frac{e^{x+2y}-C}{e^{x+2y}}dx = \frac{C-e^{x+2y}+e^{x+2y}-C}{e^{x+2y}}dx = 0$
Получили правую часть уравнения, значит, решение верное.

-- 31.12.2016, 11:58 --

Лукомор, спасибо!

-- 31.12.2016, 12:16 --

iifat в сообщении #1181101 писал(а):

Нет, вы поняли неправильно. Эти два решения совершенно различны.

Вы правы. Подставил в уравнение решение данное в учебнике и ответ получился не нулевой. Значит просто очередная опечатка в учебнике. Спасибо за разъяснения.