2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отношение числа к сумме его десятичных цифр
Сообщение25.12.2016, 15:24 
Аватара пользователя


01/12/11
5726
Существует ровно одно натуральное число, которое в 11 раз больше суммы своих цифр. Это число 198.
А при каких ещё натуральных $k$ существует ровно одно натуральное $n$, которое в $k$ раз больше суммы своих цифр? Конечно или бесконечно множество таких $k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение числа к сумме его десятичных цифр
Сообщение26.12.2016, 16:18 
Аватара пользователя


26/09/16
59
Снегири
Спешу предположить, что число 1980 ровно в 110 раз превосходит сумму своих цифр, и это - единственное такое число.

То есть, понятно, что если $k = 110$, то число $n$ должно быть кратно 10, а значит $n/10$ кратно 11, при этом сумма цифр в записи $n$ равна сумме цифр в записи $n/10$. И как я только что узнал, есть только одно натуральное число, которое при делении на 11 даёт сумму цифр в своей записи, т.е. будет существовать ровно одно число, которое будет давать сумму своих цифр при делении на $110$. И ещё одно для $k = 1100$.
Так, с шагом в десять раз, мы получим бесконечное количество натуральных $k$, удовлетворяющих нужному условию.

А вот как найти другие числа - вопрос хороший.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение числа к сумме его десятичных цифр
Сообщение26.12.2016, 16:21 
Аватара пользователя


01/12/11
5726
SVD-d
Большое спасибо за интересное решение!
Теперь бы ещё все такие $k$ найти...

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение числа к сумме его десятичных цифр
Сообщение30.12.2016, 11:32 
Аватара пользователя


29/04/13
2875
Ktina в сообщении #1180239 писал(а):
Теперь бы ещё все такие $k$ найти...

Что-то пока сложно. Ясно только, что все такие $k$ имеют вид $k=3a$ либо $k=3a-1$ для натуральных $a$.

Но далеко не все такие $k$ годятся. Первые неподходящие $k=26$ и $k=27$.

Интересны также такие $k$, для которых есть много натуральных $n$, которые ровно в $k$ раз больше суммы своих цифр. Здесь особняком стоит $37$, для которого существует аж $15$ таких чисел. Наступающий год тоже весьма хорош в этом плане. Для $2017$ существует $16$ таких чисел.

Коротенькая табличка до $18$ уже есть: A058913. Кстати, там ошибка. Правильные значения получаются, если индексы идут с $0$ до $18$, а не с $1$ до $19$.

Продолжение этой последовательности: $16687, 104302, 171586, 174286...$

Интересно посчитать также суммы цифр её членов:

$8, 2, 8, 4, 4, 13, 16, 10, 10, 1, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 28, 10, 28, 28...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение числа к сумме его десятичных цифр
Сообщение30.12.2016, 12:36 
Аватара пользователя


26/09/16
59
Снегири
Кстати, да. Я в своё время тоже заметил, что чисел k, которые подходят к условию про ровно одно натуральное n, куда больше, чем тех, которые под это условие не подходят.
Я пытался что-то придумать, дошёл до того, что в большинстве случаев $n = 18k$ если $9k$ имеет столько же цифр, что и $k$, и $n = 9k$, если нет. Но дошёл до первого же контрпримера и всё забросил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Xaositect


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group