Нелинейное уравнение диффузии

[Mitrandir]

Добрый день,

Помогите понять как нужно аппроксимировать уравнение. Посоветуйте литературу.
$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(n\left(\varphi_n\right)\dfrac{\partial\varphi_n}{\partial x}\right) = R\left(\varphi_n\right)$

(Мне казалось что решение этого уравнения в большей степени зависит от способа его аппроксимации - в случае метода конечных объемов, от аппроксимации потоков на границе контрольных объемов)

Это уравнение из физики полупроводниковых приборов (если это важно) и коэффициент диффузии $n\left(\varphi_n\right)$ может изменяться на 10 ки порядков между соседними точками - зависит экспоненциально от $\varphi_n$. Надо отметить, что это уравнение часть системы из 3 уравнений, которую я решаю методом Гумеля (разделением системы на 3 отдельных уравнения)

Я пробовал читать литературу, нашел много различных методов решения нелинейного уравнения диффузии, но одни основаны на решении дополнительной задачи Римана (что в целом понятно зачем, но достаточно сложно и непонятно получу ли я результат ).

Пробовал метод конечных объемов + линеаризовать поток по методу Ньютона
$\varphi_n^{k+1} = \varphi_n^k+\delta\varphi_n$
и раскладывая коэффициент в ряд выбрасывать слагаемые пропорциональные $\delta\varphi_n^2$

Поскольку результирующее уравнение
$J = n\left(\varphi_n^k\right)\dfrac{\partial\varphi_n^{k+1}}{\partial x} + \varphi_n^{k+1}\dfrac{\partial n\left(\varphi_n^k\right)}{\partial\varphi_n^k}\dfrac{\partial\varphi_n^{k}}{\partial x} - \varphi_n^{k}\dfrac{\partial n\left(\varphi_n^k\right)}{\partial\varphi_n^k}\dfrac{\partial\varphi_n^{k}}{\partial x}$
Похоже на уравнение дрейфа-диффузии, которое я решать умею (с использованием экспоненциальной схемы)
$J = n\dfrac{\partial\varphi_n}{\partial x} + \varphi_n A + B$
я попытался ее и применить, но к сожалению результат совершенно неудовлетворительный.

- Другие подходы основанные на сведении нелинейного уравнения к уравнению описанному выше выше также реализовать не получилось. (Возможно и не должно было получиться).

Может быть кто нибудь сталкивался с подобной задачей? Подскажите литературу, направление ...
Спасибо!

[пианист]

А что Вы его сразу численно пластаете?
Это же емнис уравнение Бернулли, вполне себе аналитически решается.

[Mitrandir]

Функция $n(\varphi_n)$ - не аналитическая (интеграл ферми - у нее есть аппроксимация), правая часть уравнения также сумма различных степенных выражений.
Я честно говоря не знаю можно ли такое решить, разве что в нескольких частных случаях.
Уравнение Бернулли разве не обыкновенное дифференциальное? (хотя в одномерном случае наверное не важно), да и не похоже вроде.

[пианист]

Да вроде там и не надо аналитичности.
Ваши $n$ и $R$ должны войти в выражения под интегралом.
Обыкновенное, да. А Ваше какое?

[Mitrandir]

А у меня вроде уравнение в частных производных
Вы про это уравнение Бернулли?
$y'+a\left(x\right)y=b\left(x\right)y^n$

[пианист]

Ээээ.. А где вторая (частная)?
Оно самое. Если у Вас понизить порядок стандартным способом ($\varphi '= p(\varphi ) $), получится частный случай.

[Mitrandir]

Вы правы - одномерный случай ничем не отличается от обыкновенного уравнения.
Понизить порядок -> получить уравнение
$p\dfrac{\partial n}{\partial x} + n\dfrac{\partial p}{\partial x} = R$

Совсем не думал о том, что можно бы такой трюк провернуть. Насчет аналитического решения я буду думать, если это так то почему тысячи человек решают это уравнение численно. Но ведь можно пробовать решать численно уравнение с пониженной размерностью. Но в случае с методом конечных объемов и так решается уравнение лишь с потоками.

[пианист]

Если использовать указанную замену, ОДУ будет на $p(\varphi )$:
$np\frac{dp}{d\varphi} + n'p^2 = R$.

Не знаю. Возможно, для Вашей науки такое аналитическое решение не слишком полезно, а требуется численное.