Предел функции

[SomePupil]

Someone, вот, смотрите:

$$(mx^{m-1})' = m(m-1)x^{m-2}$$

$$(mx^m)' = m^2 x^{m-1}$$

Видно, что вторая из этих равенств начертана рукою ангела, а первая $-$ рогами лукавого.

-- 26.12.2016, 16:57 --

wrest в сообщении #1180232 писал(а):

Может, вам вообще упрощения не нужны и вы сразу видите конечный ответ...

Ну да, у них глаз намётан.

[ewert]

Someone в сообщении #1180218 писал(а):

Да откуда у Вас там $x^{-1}$ берётся?

Может взяться, но не более как по легкомыслию. Там по сугубо формальным причинам при $m=1$ или при $n=1$ возможны формальные проблемы. Которые после сокращения исчезают.

Но это уже -- не более чем ловля блох.

[Someone]

ewert в сообщении #1180275 писал(а):

Там по сугубо формальным причинам при $m=1$ или при $n=1$ возможны формальные проблемы.

"Формальные" проблемы там возникают, если $m=0$ или $n=0$, при которых исходное выражение не определено. А в остальных случаях никаких проблем не вижу.

wrest в сообщении #1180222 писал(а):

Ведь если не скоращать, то вторая производная будет $(x^m)''=(mx^{m-1})'=m(m-1)x^{m-2}$

Ну и пусть себе.

[Joe Black]

$$ \lim_{x \rightarrow 1} \left( \dfrac{m}{1-x^m} - \dfrac{n}{1-x^n} \right) = \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{1-x^m-x^n+x^{m+n}}=\left| \dfrac00 \right| = \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{nm(x^m-x^n)}{(m+n)x^{m+n} - mx^m -nx^n} = \left| \dfrac00 \right| = $$

$$= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{nm(mx^{m-1} - nx^{n-1})}{(m+n)^2 x^{m+n-1} - m^2x^{m-1}-n^2x^{n-1}} = \dfrac{m-n}{2} $$

[wrest]

Joe Black
Да. Но скажите же, в чем была трудность?

[Joe Black]

wrest в сообщении #1180497 писал(а):

Joe Black
Да. Но скажите же, в чем была трудность?

Похоже, что в арифметике((

[Brukvalub]

Информация к размышлению: это № $428$ из Демидовича, он предлагается задолго до всяких там производных и Лопиталей, и за его лопитирование любой сотрудник кафедры мат.анализа голыми руками здоровья и жизни лишит.

[Joe Black]

Хорошо, тогда:

$$\lim_{x \rightarrow 1} \left( \dfrac{m}{1-x^m} - \dfrac{n}{1-x^n} \right) = \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{m(1-x^n) - n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)} = $$

$$ = \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(1-x)[m(1+x+...+x^{n-1})-n(1+x+...+x^{m-1})]}{(1-x)^2(1+x+...+x^{n-1})(1+x+...+x^{m-1})}$$

Одна скобка $(1-x)$ сокращается в знаменателе, что делать со второй?

[Brukvalub]

Joe Black в сообщении #1180540 писал(а):

что делать со второй?

Разделить числитель уголком на вторую скобку $(1-x)$.

[ewert]

Joe Black в сообщении #1180540 писал(а):

Одна скобка $(1-x)$ сокращается в знаменателе, что делать со второй?

Снова свернуть все скобки взад, после чего

dsge в сообщении #1180033 писал(а):

Сделать замену переменных и применить формулу бинома

Это, между прочим, тоже шаблон: если предельная точка -- не ноль, то первое, что должно приходить в голову -- сделать сдвиг, после которого новая переменная будет стремиться уже к нулю. Как правило (хотя и не всегда) получается хорошо.

[Someone]

Тут была написана ерунда.

[Joe Black]

Brukvalub в сообщении #1180550 писал(а):

Joe Black в сообщении #1180540 писал(а):

что делать со второй?

Разделить числитель уголком на вторую скобку $(1-x)$.

он же не делится нацело на $1-x$, там всё равно остаётся слагаемое с $1-x$ в знаменателе

[Someone]

Joe Black в сообщении #1180624 писал(а):

он же не делится нацело на $1-x$

Во-первых, делится, так как при подстановке в числитель $x=1$ получается $0$ (теорема Безу).

Joe Black в сообщении #1180624 писал(а):

там всё равно остаётся слагаемое с $1-x$ в знаменателе

Во-вторых, там (в знаменателе) не слагаемое, а множитель.

[bot]

$\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{m(1+x+\ldots+x^{n-1})-n(1+x+\ldots+x^{m-1})}{(1-x)(1+x+\ldots+x^{n-1})(1+x+\ldots+x^{m-1})}=\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{n(1+x+\ldots+x^{m-1})-m(1+x+\ldots+x^{n-1})}{(x-1)nm}= \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{n(1+x+\ldots+x^{m-1}-m)-m(1+x+\ldots+x^{n-1}-n)}{(x-1)nm}=\frac1mL_m-\frac1nL_n$,
где $L_k=\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{1+x+\ldots+x^{k-1}-k}{x-1}=\ldots $

PS. Одно последнее равенство заменил на $\ldots$, чтобы не получить люлей от модератора за полное решение учебной задачи.

[SomePupil]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1180530 писал(а):

и за его лопитирование любой сотрудник кафедры мат.анализа голыми руками здоровья и жизни лишит.

А я бы, наоборот, ахелай-махелаем сотворил бы пряник и запихнул бы его студенту в рот. А пока он бы сидел с выпученными глазами, я бы подсунул ему какую-нибудь советскую качественную брошюру с материалом про выпуклые функции, дескать, изучай на досуге. А когда бы он начал, шамкая и давясь, разжевывать пряник, я бы посоветовал ему познакомиться с формулой Тейлора и интегральчиками. А пока он бы выходил, что-то лопоча полным от пряника ртом и кланяясь, я бы сказал что-то вроде: "Молодец! Так держать!", хлопнул бы по плечу и выпроводил из кабинета.

P. S. А после я развалился бы в каком-нибудь удобном кресле и с довольным видом потирал бы руки $-$ одним отличником больше, будущее научрукство, репутация, профиит...