2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение26.12.2016, 20:56 


11/06/16
191
Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться!

Несколько обжор ели мандарины. Известно, что победитель (тот, кто съел больше всех) съел ровно в 7 раз меньше мандаринов, чем все обжоры участники вместе взятые. Обжора, занявший третье место, съел ровно в 15 раз мандаринов меньше, чем все остальные, а обжора, оказавшийся на последнем месте, съел ровно в 16 раз меньше мандаринов, чем все остальные. Сколько было обжор?
Во-первых ясно, что участников хотя бы четыре.
Пусть $x_1$ – количество мандаринов, которые съел победитель. Пусть $x_3$– количество мандаринов, которые съел человек, который занял третье место. Пусть $x_l$ – количество мандаринов, которые съел человек, который занял последнее место. Тогда количество мандаринов, которые съели все обжоры $N=8x_1=16x_3=17x_L$.
Наименьшее общее кратное будет $16\cdot 17=272$. Тогда выходит, что количество мандаринов кратно числу 272. При этом $x\geqslant 34$, $y\geqslant 17$, $x\geqslant 16$ Пусть количество мандаринов, которые съели все обжоры, кроме первого будет $y$.
Тогда $x_1+x_3+x_L+y=272k=N=\dfrac{N}{8}+\dfrac{N}{16}+\dfrac{N}{17}+y$.

Тогда $y=\dfrac{272N-34N-17N-16N}{252}=\dfrac{205N}{252}$. Так как дробь несократима, то обжор, кроме вычшеперечисленных должно быть кратно $205$. Может просто можно взять 205?

-- 26.12.2016, 21:22 --

У меня есть ощущение, что общее число снежков неограниченно сверху, потому задача имеет кучу решений, но думаю, что автор хочет увидеть хотя бы один расклад...

 Профиль  
                  
 
 Re: Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение26.12.2016, 21:55 
Заслуженный участник


04/03/09
906
PWT в сообщении #1180282 писал(а):
Может просто можно взять 205?

Это больше, чем у победителя. Надо учесть места, занятые участниками, и 4 человеками не обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение26.12.2016, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
PWT в сообщении #1180282 писал(а):
победитель (тот, кто съел больше всех) съел ровно в 7 раз меньше мандаринов, чем все обжоры участники вместе взятые
...
Тогда количество мандаринов, которые съели все обжоры $N=8x_1=16x_3=17x_L$.
Здесь должно быть $N=7x_1=16x_3=17x_l$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение26.12.2016, 23:53 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
PWT, попробуйте получить неравенство для $l$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение27.12.2016, 00:16 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Ну, видимо, 14 обжор. :D Или 15....

 Профиль  
                  
 
 Re: Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение27.12.2016, 04:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Поскольку #1 сожрал (исходя из дальнейшего ясно, что даже это слово не отражает полностью) 1/7 общего количества, а #3––1/16, а самый умеренный #N––1/17, мы заключаем что общее количество манаринок делится на 7, 16 и 17, а значит и на 1904. Если мы хотим минимизировать число обжор, то посчитаем что #2 сравнялся с #1, а #4, #5, .... с #3, и тогда $\frac{1}{7}\cdot 2 + \frac{1}{16}\cdot (N-2)\ge 1\implies N\ge 14$ (поскольку $N$ целое). Если мы хотим максимизировать их число, то #2 сравнялся с #3, а все прочие--с #N: $\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\cdot 2 + \frac{1}{17}\cdot (N-3)\le 1\implies N\le 15$.

Поскольку выбор количества сожранного каждым из неупомянутых в условиях обжор произвольное целое число (в указанных рамках), то можно реализовать оба сценария $N=14$ и $N=15$, $x_1=272$, $x_3=119$, $x_N=112$.

Я не поленился, посчитал: в 5-фунтовом ящике 35 мелких мандарин, т.е. даже самый умеренный сожрал минимум 7 кило. Впрочем, невозможное--возможно
https://en.wikipedia.org/wiki/Joey_Chestnut

 Профиль  
                  
 
 Re: Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение27.12.2016, 09:44 


14/01/11
2916
PWT в сообщении #1180282 писал(а):
У меня есть ощущение, что общее число снежков неограниченно сверху

Мы знаем, какую часть мандаринов съел обжора с самым плохим аппетитом, каждый из остальных съел заведомо не меньше, что немедленно даёт ограничение сверху на количество участников.

-- Вт дек 27, 2016 10:30:42 --

Может, в условии опечатка и первый съел всего лишь в 7 раз меньше, чем все остальные? Тогда задача имела бы однозначное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение27.12.2016, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Самое малое число участников тогда, когда они жрут много, т. е. второй съел $1/8$, а между третьим и последним каждый съел по $1/16$.
Самое большое число участников тогда, когда они жрут мало, т. е. второй съел $1/16$, а между третьим и последним каждый съел по $1/17$.

Т.е. 15. (Или 14? :mrgreen: )

 Профиль  
                  
 
 Re: Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение27.12.2016, 12:17 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Цитата:
Известно, что победитель (тот, кто съел больше всех)...


ИМХО, это означает, что победитель только один, и второй не мог съесть столько же. Это исключает неоднозначность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение27.12.2016, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
EUgeneUS в сообщении #1180429 писал(а):
Цитата:
Известно, что победитель (тот, кто съел больше всех)...


ИМХО, это означает, что победитель только один, и второй не мог съесть столько же. Это исключает неоднозначность.

Второй съел на $0.000000000000000001$% меньше первого. Как это исключает неоднозначность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение27.12.2016, 14:00 


11/06/16
191
Спасибо, разобрался, только один момент смущает. Но ведь нужно указать распределение мандаринов между обжорами, но этого не получается сделать при $N=14$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обжоры, мандарины, комбинаторика
Сообщение27.12.2016, 17:48 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
PWT в сообщении #1180453 писал(а):
этого не получается сделать при $N=14$.

Да почему?
Например, главный -272, третий - 119, последний - 112, с четвертого по 13-й -113, остальные из 18994 - второму (261)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group