Одинаковые суммы и произведения

[Ktina]

а) Существуют ли 6 различных натуральных чисел таких, что сумма первых трёх равна сумме остальных, а произведение первых трёх равно произведению остальных чисел?

б) При каких натуральных $n$ существуют $2n$ различных натуральных чисел таких, что сумма первых $n$ равна сумме остальных, а произведение первых $n$ равно произведению остальных чисел?

В пункте а) нетрудно подобрать нужные нам числа.
Например, 12, 25, 26, 13, 20 и 30.
Действительно, $12+25+26=13+20+30=63$, значит, суммы одинаковы.
Помимо этого, $12\cdot 25\cdot 26=13\cdot 20\cdot 30=7800$, значит, и произведения тоже одинаковы.

Насчёт пункта б) полагаю, что $n$ должно быть кратно 3 (хотя, скорее всего, я ошибаюсь, интуиция подсказывает).
В этом случае можно взять сколько угодно шестёрок чисел, отношения между которыми такие же, как в пункте а).
Например, при $n=6$ можно взять следующие 12 чисел:
12, 25, 26, 36, 75, 78, 13, 20, 30, 39, 60 и 90.
Действительно, $12+25+26+36+75+78=13+20+30+39+60+90=252$, значит, суммы одинаковы.
Помимо этого, $12\cdot 25\cdot 26\cdot 36\cdot 75\cdot 78=13\cdot 20\cdot 30\cdot 39\cdot 60\cdot 90=1642680000$, значит, и произведения тоже одинаковы.

Как решать дальше?
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[DeBill]

Пусть уже есть $n$ и $n$ чисел, с суммой $S$ и произведением $P$, в каждой кучке. Умножим их все, на всякий случай, на $2^n - 1$, теперь их сумма делится на $2^n - 1$:
$S = k(2^n -1)$.
Добавим ко второй кучке число $X=k\cdot2^n$.
Получим кучку с суммой $S+X = 2S+k$ и произведением $k\cdot2^n\cdot P$
Умножим все числа первой кучки на 2, и добавим число $Y=k$, получим кучку с суммой $2S +k$ и произведением $k\cdot 2^n\cdot P$ .
Процесс пошел!

(Оффтоп)

Правда, надо еще заботитЬся о неодинаковости чисел...
Ну, можно домножать одну кучку на $a$, другую - на $b$, принудительно обеспечив (домножением всех чисел) делимость суммы на $T=\frac{b^n -a^n}{b-a}$ (выше было $a=2, b=1$) - чтобы избечь одинаковости в подправленных старых числах, и к кучкам добавить числа $X=b^n \cdot k, Y = a^n \cdot k,$ где $k = \frac{S}{T}$ (они - разные, и отличаются от прочих неделимостью на $T$). Нда, не очень аккуратно.... - надо чистить

[Ktina]

DeBill
Большое спасибо!