2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метатеорема Ферма и доказательство ВТФ для n=2
Сообщение25.12.2016, 04:00 


31/12/15

24
Метатеорема Ферма. Для любого натурального числа $k$ (включая $k=0$, $k=1$ и $k=2$) рано или поздно найдётся ферматист, который возьмётся искать доказательство теоремы Ферма для случая $n=k$.

Я сделал это удивительное открытие, но максимальный размер сообщения, которое можно опубликовать на данном форуме, слишком мал, чтобы я мог разместить в нём полное доказательство, поэтому я ограничусь случаем $k=0$. Итак, требуется доказать, что найдётся человек, который возьмётся доказывать утверждение $$ x \ne 0, y \ne 0, z \ne 0 \quad \Rightarrow \quad x^0 + y^0 \ne z^0 $$ для всех целых чисел $x,y,z$. Этим человеком буду я. Вот моё доказательство: если для целых чисел $x,y,z$ выполняются все три условия $x \ne 0, y \ne 0, z \ne 0$, то $x^0 + y^0 = 1 + 1 = 2$, в то время как $z^0 = 1$ - следовательно, выполнение уравнения $x^n + y^n = z^n$ в случае $n=0$ невозможно ни при каких отличных от нуля значениях $x,y,z$. В случае $k=0$ выдвинутая мной гипотеза доказана полностью.

Перейдём к случаю $k=2$. Найти ферматиста, который возьмётся доказывать теорему Ферма для случая $n=2$, нелегко. Однако, рассмотрим уравнение $$x^2 + y^2 = z^2$$ и предположим, что оно имеет нетривиальные решения. Возможны два случая.

1-й случай: число $z$ чётно. Если оба числа $x,y$ также являются чётными, то, произведя замену $x'=\frac{x}{2},y'=\frac{y}{2},z'=\frac{z}{2}$, приходим к уравнению $x'^2 + y'^2 = z'^2$, которое имеет тот же вид, что и исходное уравнение, но теперь $|z'| < |z|$. Поэтому далее будем считать, что оба значения $x,y$ нечётны. Следовательно, для некоторых целых чисел $k,l$ выполняются соотношения $x=2k+1,y=2l+1$. Подставим полученные выражения для $x$ и $y$ в исходное уравнение, и после несложных преобразований найдём $$ 4 k^2 + 4 l^2 + 4 k + 4 l + 2 = z^2.$$ Но это невозможно, поскольку левая часть данного равенства при делении на $4$ даёт остаток $2$, а правая часть даёт либо остаток $0$, если число $z$ чётно, либо остаток $1$, если число $z$ нечётно. Полученное противоречие показывает, что 1-й случай невозможен.

2-й случай: число $z$ нечётно. Когда Леонард Эйлер искал доказательство ВТФ для $n=3$, он делал замену $$x=t+u, \quad y=t-u$. Попробуем поступить так же. После подстановки в исходное уравнение получим $$ (t+u)^2 + (t-u)^2 = z^2. $$ После раскрытия скобок имеем $$2t^2 + 2u^2 = z^2.$$ Но $z^2$ - нечётное число, а $(2t^2 + 2u^2)$ чётно при любых $t,u$. То есть предположение, что $z$ нечётно, приводит нас к уравнению, которое не может быть решено в целых числах относительно переменных $t,u$.

Следовательно, могут существовать ферматисты, которые для $n=2$ будут пытаться опровергнуть теорему Ферма...

 Профиль  
                  
 
 Re: Метатеорема Ферма и доказательство ВТФ для n=2
Сообщение25.12.2016, 06:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5471
Новосибирск
Gavrisych в сообщении #1179767 писал(а):
2-й случай: число $z$ нечётно. Когда Леонард Эйлер искал доказательство ВТФ для $n=3$, он делал замену $$x=t+u, \quad y=t-u$

При такой замене $x$ и $y$ одной чётности, следовательно $z$ чётно.

-- Вс дек 25, 2016 09:35:54 --

Gavrisych в сообщении #1179767 писал(а):
Для любого натурального числа $k$

А если $k$ будет такое, что его не выговоришь за 100 лет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метатеорема Ферма и доказательство ВТФ для n=2
Сообщение25.12.2016, 09:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1845
Gavrisych в сообщении #1179767 писал(а):
он делал замену $$x=t+u, \quad y=t-u$

А Вы уверены, что $t$ и $u$ получатся целыми? - ведь только тогда Вы сможете сделать вывод, что
Gavrisych в сообщении #1179767 писал(а):
$(2t^2 + 2u^2)$ чётно при любых $t,u$

Ну, проведите эти свои рассуждения для известного примера $x=3$, $y=4$, $z=5$ (для них как раз $x^2+y^2=z^2$ и $z$ нечётное) - и увидите, в чём ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метатеорема Ферма и доказательство ВТФ для n=2
Сообщение25.12.2016, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14556
Новомосковск

(Оффтоп)

Ну это же явный юмор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метатеорема Ферма и доказательство ВТФ для n=2
Сообщение25.12.2016, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1169
Москва
Для случая $n = 2$ метатеорема доказывается предъявлением Yarkin (для $n = 1$ и $2$ наверное тоже, он кажется писал что уравнения в целых числах не решаются вообще).

 Профиль  
                  
 
 Re: Метатеорема Ферма и доказательство ВТФ для n=2
Сообщение26.12.2016, 10:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5471
Новосибирск

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1179859 писал(а):
Ну это же явный юмор

Я так и понял и даже хотел поддержать ... На самом деле моё возражение
bot в сообщении #1179774 писал(а):
При такой замене $x$ и $y$ одной чётности, следовательно $z$ чётно.

по замыслу должно было стать было базой индукции при доказательстве другой метатеоремы, но несоответствие содержания с разделом заставило меня воздержаться от её формулировки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group