Расстояние между скрещивающимися

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, прошу оценить, правильные ли мои рассуждения при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве.
Имеются две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.
Произвольным образом выбираем на каждой прямой по три точки $A_1, A_2, A_3$ на прямой $a$ и $B_1, B_2, B_3$ на прямой $b$.
Середины отрезков $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ задают плоскость между прямыми, которая параллельная им и лежащая от них на одинаковом расстоянии.
Таким образом задача сводится к определению расстояния между прямой и плоскостью.

[grizzly]

Побережный Александр в сообщении #1175863 писал(а):

Середины отрезков $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ задают плоскость между прямыми, которая параллельная им и лежащая от них на одинаковом расстоянии.

Эти точки могут оказаться на одной прямой.

Побережный Александр в сообщении #1175863 писал(а):

Таким образом задача сводится к определению расстояния между прямой и плоскостью.

Почти также просто свести задачу к определению расстояния между двумя параллельными плоскостями.

[Brukvalub]

Зачем решать тривиальную задачу "на коленке", если готовая формула написана в любом учебнике по ангему?

[mihailm]

(Оффтоп)

Это мода такая тут что ли, отвечать не на тот вопрос, который задают???

Утверждение, верное, вроде как), ну кроме случая упомянутого grizzly

[Побережный Александр]

Brukvalub в сообщении #1175881 писал(а):

Зачем решать тривиальную задачу "на коленке", если готовая формула написана в любом учебнике по ангему?

В школе аналитическую геометрию не изучают, а скрещивающиеся прямые изучают в 10 классе. Поэтому "тривиальные" задачи для вас совсем не тривиальные для школьников.

grizzly в сообщении #1175878 писал(а):

Эти точки могут оказаться на одной прямой.

Если выбранные точки окажутся на одной прямой, то достаточно изменить одну любую точку из шести и гарантировано будет задана плоскость.

grizzly в сообщении #1175878 писал(а):

Почти также просто свести задачу к определению расстояния между двумя параллельными плоскостями.

Я пытался построить такие параллельные плоскости, но мне оказалось проще построить одну и посередине.
А как можно построить две параллельные плоскости, проходящие через скрещивающиеся прямые?

mihailm в сообщении #1175896 писал(а):

Утверждение, верное, вроде как), ну кроме случая упомянутого grizzly

Спасибо за ваше и других участников внимание к моим вопросам. )

[gris]

Можно взять на каждой прямой по две точки. Они зададут два направляющих вектора по одному на каждую прямую. Перенеся их к любой точке на каждой прямой, мы получим две параллельные плоскости, проходящие каждая через свою прямую.
Теоретически Вы, конечно, правы (с уточнением про положением точек), но практически, например, для расчётов на компьютере могут быть нюансы. Формул много разных, как и алгоритмов, но надо исходить из того, как заданы эти прямые и т.п.
В школьной геометрии прямые могут задаваться описательно. Например, найти расстояние между определёнными диагоналями определённых граней в некотором многограннике. Разумеется, с помощью координат такие задачи решаются проще, но иногда требуется решение чисто геометрическое. Там приходится выполнять нужные построения и проводить доказательства. Обычно и строятся параллельные плоскости. Через любую точку одной прямой проводится прямая, параллельная второй. То же самое наоборот. А потом строится перпендикуляр к плоскости. Иногда через объёмы. Довольно сложные задачи.

[Brukvalub]

Побережный Александр в сообщении #1176124 писал(а):

В школе аналитическую геометрию не изучают, а скрещивающиеся прямые изучают в 10 классе. Поэтому "тривиальные" задачи для вас совсем не тривиальные для школьников.

Неубедительно. Каждый школьник может найти общий орт для двух направляющих векторов скрещивающихся прямых. Затем он может найти общий перпендикуляр к этим прямым и посчитать его длину вместо того, чтобы путаться в шести (ШЕСТИ, КАРЛ!) точках!

[grizzly]

Побережный Александр в сообщении #1176124 писал(а):

А как можно построить две параллельные плоскости, проходящие через скрещивающиеся прямые?

Я имел в виду другое. Вы не обязаны строить плоскость посредине. Вы можете поделить те же отрезки сначала в отношении 1:3 и получить одну плоскость, затем в отношении 3:1 и получить другую. Расстояние между этими параллельными плоскостями будет равно половине расстояния между данными прямыми.

[ewert]

Логически проще всего взять по одной точке на каждой прямой, а потом спроецировать соединяющий их вектор на векторное произведение направляющих векторов этих прямых.

[bot]

Банальнее мне кажется трудно придумать. Что такое расстояние между скрещивающими прямыми? Это длина их общего перпендикуляра. Вот прямо по определению и действуем: берём вектор, соединяющий текучие точки прямых и пишем перпендикулярность его к направляющим векторам прямых.

[Побережный Александр]

После некоторых рассуждений пришел к выводу, шесть точек будет избыточно. Для задания плоскости параллельной скрещивающимся прямым $a$ и $b$ и лежащей между ними достаточно четыре точки, по паре на каждой прямой.
Пусть точки $A_1$ и $A_2$ лежат на прямой $a$, точки $B_1$ и $B_2$ на прямой $b$. Тогда середины отрезков $A_1B_1, A_1B_2, A_2B_1, A_2B_2$ лежат в одной плоскости, параллельной данным скрещивающимся прямым.

[gris]

Можно так сформулировать Ваши рассуждения: геометрическое место середин отрезков, концы которых принадлежат скрещивающимся прямым, есть плоскость такая-то.

Кстати, очень применимо на практике. Есть две трубы. Соединяем их множеством ниток, у которых яркими бантиками помечены середины. Бантики будут помечать искомую плоскость. Это я без всякой иронии. Просто представил как практическое упражнение для школьников.

Ну на самом деле, на практике, если надо быстренько провесить плоскость, равноотстоящую от двух торчащих в разные стороны труб, вы что, будете считать векторные произведения? Катушка ниток в самый раз!

[bot]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1179799 писал(а):

Кстати, очень применимо на практике. Есть две трубы. Соединяем их множеством ниток, у которых яркими бантиками помечены середины. Бантики будут помечать искомую плоскость.

Трубы есть, бантики есть, барабан бы ещё и с флагом на парад.

Побережный Александр, и далась Вам эта серединная плоскость! Если уж приспичило её найти, то для определения одной её точки достаточно середины одного отрезка, а как перпендикуляр к ней найти, уж давно Вам сказали. И вообще способов так много, что если уж выбирать лучший, то только сравнительно с объёмом вычислений. Понятно, что универсально лучшего не найти, поскольку зависимость этого объёма от способа задания прямых очевидна.