Гармонический ряд простых чисел

[druggist]

Как известно, гармонический ($s=1$) ряд простых чисел $p_n$ расходится как:

$$\sum\limits_{p_n<x}^{}\frac{1}{p_n}\sim \log\log(x)$$

Используя тождество Эйлера, вроде бы, можно получить, что что сумма обратных степеней простых чисел $p^s_n$ в диапазоне $0<s<1$, расходится как:

$$\sum\limits_{p_n<x}^{}\frac{1}{p^s_n}\sim (1-s)\log(x)$$

Верно ли второе соотношение и в частности, когда $s$ стремится к нулю?

[sa233091]

Получил такую оценку:
Обозначим
$\[\begin{gathered} s = \frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ... \hfill \\ a = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... \hfill \\ \end{gathered} \]$
Рассмотрим такое произведение:
$\[\left( {1+\frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ...} \right)\left( {1+\frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ...} \right)...\left( {1+\frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ...} \right)\]$
(скобок - $\[n\]$ штук)
Заметим, что каждое произведение будет повторяться не более, чем $\[n!\]$ раз.
Тогда:
{\lim _{n \to \infty }}\frac{{{{(s + 1)}^n}}}{{n!}} \leqslant a
Верна ли эта оценка?

-- 23.09.2016, 00:19 --

druggist в сообщении #1153242 писал(а):

Верно ли второе соотношение и в частности, когда $s$ стремится к нулю?

Думаю, что нет:
Т.к. $\[{\lim _{n \to \infty }}\frac{{\log x}}{x} = 0\]$

[DiMath]

druggist
Используйте преобразование Абеля и найдете правильную асимптотику, это вроде несложная задача.
При $s=0$ у Вас же будет просто количество простых чисел.

[Brukvalub]

druggist в сообщении #1153242 писал(а):

Как известно, гармонический ($s=1$) ряд простых чисел $p_n$ расходится

sa233091 в сообщении #1153749 писал(а):

Обозначим

$$\[\begin{gathered} s = \frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ... \hfill \\ a = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... \hfill \\ \end{gathered} \]$$

[sa233091]

Brukvalub в сообщении #1153770 писал(а):

druggist в сообщении #1153242 писал(а):

Как известно, гармонический ($s=1$) ряд простых чисел $p_n$ расходится

sa233091 в сообщении #1153749 писал(а):

Обозначим

$$\[\begin{gathered} s = \frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ... \hfill \\ a = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Ну можно просто обозначить сумму некоторого кол-ва слагаемых этих рядов. А далее тоже самое сделать, только рассмотреть пределы при кол-ве членов бесконечно большом

[druggist]

DiMath в сообщении #1153759 писал(а):

При $s=0$ у Вас же будет просто количество простых чисел.

Да, согласен, конечно же при $s=0$ будет функция распределения простых чисел, чушь написал.
Насчет асимптотики. Если взять "плотность простых чисел" как $\rho(t) = 1/ \log(t)$ умножить на $1/t^s$ и проинтегрировать от двойки до $x$, то, вроде бы, получается как надо.

[DiMath]

druggist
А с чего Вы решили, что нужно делать именно так, а не как-то иначе, и что то, что Вы получите будет хоть как-то связано с исходной суммой? Если из вероятностных соображений - забудьте. Таким способом можно объяснить для себя лично уже известный верный результат, но ничего более.
Я уже написал Вам: примените преобразование Абеля.

[Brukvalub]

sa233091 в сообщении #1153776 писал(а):

Ну можно просто обозначить сумму некоторого кол-ва слагаемых этих рядов. А далее тоже самое сделать, только рассмотреть пределы при кол-ве членов бесконечно большом

Покажите, пожалуйста, этот метод во всех подробностях, а то я начал так делать и запутался!

[DiMath]

sa233091 в сообщении #1153749 писал(а):

{\lim _{n \to \infty }}\frac{{{{(s + 1)}^n}}}{{n!}} \leqslant a
Верна ли эта оценка?

На расширенной числовой прямой, безусловно (ибо у Вас $a=\infty$)

[sa233091]

То есть $\[{S_n} \sim \sqrt[n]{{{A_n}n!}} - 1\]$

[DiMath]

[Sonic86]

DiMath в сообщении #1153759 писал(а):

Используйте преобразование Абеля и найдете правильную асимптотику, это вроде несложная задача.

Можно так: заменяем $p_n$ на ее асимптотику, $p_n<x \Leftrightarrow n<\pi(x)$, поскольку выражение под суммой меняется медленно, значит сумму можно заменить на интеграл, взять интеграл.

[sa233091]

sa233091 в сообщении #1153841 писал(а):

То есть $\[{S_n} \sim \sqrt[n]{{{A_n}n!}} - 1\]$

Ой, точно. Извините, написал бред

[druggist]

Асимптотика суммы при $x\to \infty$, очевидно, должна быть функцией двух переменных, $x$ и $s$ :

$$\sum\limits_{p\leqslant x}^{}\frac{1}{p^s}=F(x, s)$$

Однако же для суммы степеней простых чисел эта функция примечательна наличием автомодельности, а именно, если обозначить $\pi (x)$ - функцию распределения простых чисел (prime counting function), то для асимптотики суммы, по-видимому, будем иметь:

$$F(x, s)=\sum\limits_{p\leqslant x}^{}\frac{1}{p^s}=\pi(x^{1/(1-s)})$$

Эта формула подтверждаетсяся экспериментально в диапазоне $0\leqslant s <1$ и следует из известного приближения $ \pi(x)$ интегральным логарифмом. Очевидно, про это свойство должно быть где-то написано, хотелось бы почитать.

[druggist]

Прошу прощения, конечно же в последнем сообщении ошибка в формуле, правильно так:

$$F(x, s)=\sum\limits_{p\leqslant x}^{}\frac{1}{p^s}=\pi(x^{(1-s)})$$