есть ли аналитическое решение интеграла

[salang]

to DeBill я не совсем понял смысл замены переменной, т.к. якобиан преобразования становится значительно сложнее исходной функции. Изменением пределов на диапазон $10^{-6}$ до $\pi-10^{-6}$ вопрос с этой точкой решится?

[DeBill]

salang в сообщении #1177664 писал(а):

Изменением пределов на диапазон $10^{-6}$ до $\pi-10^{-6}$ вопрос с этой точкой решится?

Я говорил про интеграл из Вашего первого поста, а там же нет никаких особых точек....
Замена - для сведения к интегралам, считаемым методами ТФКП, через вычеты.
Но, действительно, лучше, видимо, с этим не связываться, а считать непосредственно (правда, надежды получить ответ лучше, чем в виде суммы ряда - нет.)
1. Выражая квадрат синуса через косинус двойного угла , приходим к интегралу вида $\int\limits_{0}^{2\pi} e^{A\cdot\cos x +B\cdot \cos^2 x}dx =$

$\sum\limits_{n=0}^{\infty } \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{n!}\cdot (A\cdot\cos x +B\cdot \cos^2x )^n dx =$
$\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!} \int\limits_{0}^{2\pi} \sum\limits_{k=0}^{n} C^k_n A^k B^{n-k} \cos^{2n-k}x dx =$ (при нечетных $k$ интеграл равен нулю; при четных $k=2s$, достаточно интегрировать по четверти отрезка - и умножить потом на 4)
$= 4\sum\limits_{n=0}^{\infty } \sum\limits_{s=0}^{[\frac{n}{2}]} \frac{1}{(2s)!(n-2s)!} A^{2s} B^{n-2s} J_{2n-2s}$, где $J_{2m} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2m}x dx$. Подстановкой $t=\sin^2x$ последний интеграл сводится к бета-функции. Выражая ее через гамма-функцию, и многократно применяя формулу понижения для нее, (и однократно - формулу дополнения) получим явное выражение для $J_{2m}$ (а можно и прямо считать, выводя для них рек. соотношения. Или посмотреть в Зориче, где такие интегралы считаются )

[salang]

благодарю, но результат в виде разложения в ряд не подходит, т.к. дальнейшие 2 интегрирования возможно будет осуществить только численно, а нужен конечный результат в виде функции.
Если речь о книге математический анализ 2004г, то в ч.1 на стр. 446 приведен эллиптический интеграл второго рода без указания результата

[DeBill]

salang
1.Конечный результат в виде функции получить не получится - кроме исключительных случаев $a=0, b=0, a=b...$
2. Так интегрируйте ряды - какие проблемы? Тем более, они сходятся очень быстро.
3. $J_{2m} = \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot \pi$ (Зорич, т.2, г.XI, 4.2, стр. 137, вывод из рек. соотношений), где !! - произведение четных/нечетных чисел.

[salang]

тогда надо сразу делать численно весь расчет. Я хотел получить выражение для корреляционной функции.
А есть в природе уравнение, описывающее прямоугольник в декартовых или полярных координатах?

[Brukvalub]

salang в сообщении #1177813 писал(а):

А есть в природе уравнение, описывающее прямоугольник в декартовых или полярных координатах?

Есть.

[salang]

при попытке получить результат сразу для двойного интеграла $\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-a x^4-b x^2- a y^4- c y^2 -2 a x^2 y^2) dx$ Mathematica дает ответ только для частного случая при одинаковых коэффициентах при $x^2$ и $y^2$ (т.е. $a>0$, $c=b>0$):

$$ \frac{\pi ^{3/2} e^{\frac{b^2}{4 a}} \text{erfc}\left(\frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)}{2 \sqrt{a}} $$

. В реальном расчете они отличаются в 331 раз. Странно, почему не получается результат в общем виде, ведь экспоненциальный ряд с отрицательными членами 4-й степени сходится очень быстро (у меня все коэффициенты положительные).