Тождественные частицы и фазовый объём

[Ascold]

В книгах по КТП в разделе про рассеяние часто говорится, что если конечные $N$частиц тождественны, то фазовый объём(в импульсном пространстве) надо разделить на $N!$, чтобы учесть их возможные перестановки, см., например у Садовского http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 2002ru.pdf формулу (5.12) и текст рядом.
В вышеуказанной книге при выводе (5.8) числа состояний перемножаются, что, на мой взгляд, требует более сложной процедуры, чем простое деление на $N!$ в случае их тождественности.
Пусть, например, итоговых тождественных частиц две, и в кусочке импульсного пространства объёма $d^3p_1d^3p_2$ каждая может обладать импульсом $p$ или $q$. Тогда возможные конечные состояния будут $|pp\rangle$, $|qq\rangle$, $|pq\rangle$, $|qp\rangle$, последние 2 - тождественны, поэтому возможно всего 3 конечных состояния, но не $2\times 2/2!=2$.
Где у меня ошибка в рассуждениях?

Pphantom:

Все-таки даже простые "формулы" и отдельные обозначения нужно набирать правильно. Выше это поправлено, в дальнейшем, пожалуйста, занимайтесь этим сами.

[Cos(x-pi/2)]

В этом рассуждении вообще не надо учитывать $|pp\rangle$ и $|qq\rangle;$ потому что в 6-мерном пространстве с элементом объема $d^3p_1d^3p_2$ объем 3-мерного множества $\vec{p}_1=\vec{p}_2$ равен нулю.

[Ascold]

Не понятно: "объём"-то равен нулю, но ничто же не запрещает в общем случае быть $\vec{p}_1=\vec{p}_2$, поэтому эти состояния тоже надо учитывать, они же возможны, а для (5.8) вычисляются именно числа всех возможных состояний.
Или же Вы имеете ввиду, что раз для каждой частицы введён свой набор импульсных компонент, то, например, $\vec{p_1}=(1,0,0)$ и $\vec{p_2}=(1,0,0)$ не означает, что эти состояния "одинаковы": они различны, поскольку относятся к разным измерениям фазового объёма, и моё рассуждение надо заменить?
А именно, пусть первой частице доступны состояния импульса 1 и 2, второй - А и В, тогда возможны состояния $|1A\rangle$, $|1B\rangle$, $|2A\rangle$, $|2B\rangle$. В силу тождественности частиц, вынуждены принять, что первой частице состояния А и В, а второй - 1 и 2 тоже доступны, поэтому на деле к четвёрке указанных состояний добавится ещё и четвёрка состояний типа $|A1\rangle$, тождественная первой группе состояний, оттого и нужно будет их общее количество поделить на 2!.
Всё равно странно как-то. Возможно, потому, что в реальности число состояний будет бесконечное, у нас же непрерывный фазовый объём.

[Munin]

Это будет только на поверхности какого-то объёма. И интеграл по поверхности будет нулём.

[Cos(x-pi/2)]

Ascold в сообщении #1179016 писал(а):

Не понятно: "объём"-то равен нулю, но ничто же не запрещает в общем случае быть $\vec{p}_1=\vec{p}_2$, поэтому эти состояния тоже надо учитывать, они же возможны

Фазовый объем здесь служит мерой количества состояний. Если он для каких-то состояний равен нулю, то, значит, количество таких состояний пренебрежимо мало на фоне прочих состояний, и их можно не учитывать.

Ascold в сообщении #1179016 писал(а):

в реальности число состояний будет бесконечное, у нас же непрерывный фазовый объём.

Да, дело в этом. В случае конечного числа состояний картина была бы вот какой. Пусть, для простоты рассуждения, некая величина $p_1$ у одной частицы может принимать $N$ дискретных значений, и величина $p_2$ у другой частицы может принимать те же $N$ значений. Тогда пара величин $(p_1,p_2)$ принимает $N \cdot N = N^2$ парных значений. Среди них только $N$ пар содержат одинаковые значения $p_1=p_2,$ так что при большом $N$ можем пренебречь $N$ состояниями пар с $p_1=p_2$ на фоне $N^2-N$ состояний с $p_1 \neq p_2.$

[druggist]

Ascold в сообщении #1179004 писал(а):

Пусть, например, итоговых тождественных частиц две, и в кусочке импульсного пространства объёма $d^3p_1d^3p_2$ каждая может обладать импульсом $p$ или $q$. Тогда возможные конечные состояния будут $|pp\rangle$, $|qq\rangle$, $|pq\rangle$, $|qp\rangle$, последние 2 - тождественны, поэтому возможно всего 3 конечных состояния, но не $2\times 2/2!=2$.
Где у меня ошибка в рассуждениях?

У Вас в примере количество частиц $N=2$, количество энергетических состояний частицы $G=2$. Если в одном энергетическом состоянии может находиться любое число частиц, то стат.вес (кол-во различных микросостояний системы $\Gamma=(N+G-1)!/(N!(G-1)!)=3$. "Классический" стат.вес $G^N$, деленный на $N!$ - это приближение, когда $N<<G$. Подробнее см. соответствующие параграфы в ЛЛ т.V (кажется 36 или 40)