Помогите найти определенный интеграл

[YuryNav]

Всем доброе время суток!

Помогите найти интеграл

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\exp \left ( -\frac{1}{2}\frac{1+k^{2}}{\cos^{2} \gamma +k^{2}\sin^{2} \gamma} \right )d \gamma,$

где $k$ может принимать значения от $0$ до $1$, $\gamma$ - переменная интегрирования (в угловых единицах).

Решал методом Ньютона-Котеса при $m=6$ с точностью до $15$ знака после запятой. Вычисления получаются ну уж больно громоздкими.

Кто нибудь может подсказать другие методы решения данной задачи, например разложением в ряды?

Можно ли решить задачу с использованием функции erf (функции ошибок (функции Лапласа или интеграла вероятности))?

[DeBill]

YuryNav
Можно попробовать так:
1. Разлагаем экспоненту по Тейлору.
2. Делаем замену $t=\tg x$. Получим кучу интегралов типа

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{(1+t^2)^{n-1}}{(1+k^2t^2)^n}dt$$

3. Из $k^2(1+t^2) = (k^2 -1) + (1+k^2t^2)$, разлагая по биному числитель, сведем к интегралам вида

$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{dt}{(1+k^2t^2)^m}$$

4. Последние интегралы считаем по ТФКП (или через рекк. формулы)

Итого: получится довольно громоздко, но - считабельно: ряд сходится довольно быстро; по прикидкам, для вашей точности (15 знаков) потребуется примерно 15 членов ряда

[YuryNav]

Спасибо DeBill.

Буду пробовать.

сразу вопрос:
разложение по Тейлору или по Маклорену? Если по Тейлору, то какой параметр $a$?

[Someone]

$a=0$?

[YuryNav]

Уважаемый Someone, при $a=0$, ряд Тейлора называется рядом Маклорена. В этом и был вопрос. Спасибо.

[YuryNav]

Спасибо всем ответившим.
Разобрался с вариантом DeBill.
Может кто нибудь подскажет другие методы?

[mihiv]

YuryNav
А в чем трудность? Подынтегральная функция меняется достаточно плавно , мне кажется формула Симпсона должна дать хороший результат.

[YuryNav]

Спасибо за ответ mihiv.
Пробовал я формулу Симпсона. При $k$ близкой к $0$ вычисления очень громоздкие.