Представления алгебр Ли

[Hasek]

Объясните, пожалуйста, как решать задачи примерно подобные следующим.

Цитата:

Пусть $V_\lambda$ -- неприводимое представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ со старшим весом $\lambda$. Разложите в прямую сумму неприводимых представление $S^2(V_5)$.

Я понимаю, например, как это сделать для тензорного произведения $V_5 \otimes V_5$. Так как старший вес $\lambda = 5$, то характер $\chi(V_5) = q^5 + q^3 + q^1 + q^{-1} + q^{-3} + q^{-5}$ и $\chi^2(V_5) = q^{10} + 2q^8 + 3q^6 + 4q^4 + 5q^2 + 6 + 5q^{-2} + 4q^{-4} + 3q^{-6} + 2q^{-8} + q^{-10}$, следовательно $V_5 \otimes V_5= V_{10} \oplus V_8 \oplus V_6 \oplus V_4 \oplus V_2 \oplus V_0$ с размерностями $\mbox{dim}V_{10} = 1, ~\mbox{dim}V_8 = 2, ~\mbox{dim}V_6 = 3, ~\mbox{dim}V_4 = 4, ~\mbox{dim}V_2 = 5, ~\mbox{dim}V_0 = 6$.

Для симметрической степени должно быть примерно так же, но всё же не понимаю, как сделать.

Цитата:

Пусть $E, ~H, ~F$ -- стандартный базис алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2 (\mathbb{C})$. Найдите все собственные значения элемента $EFH \in U(\mathfrak{sl}_2)$ в представлении алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ со старшим весом $4$.

Хочется сказать, что если старший вес $4$, то все собственные значения (т.е. просто веса) это $(4,2,0,-2,-4)$, но это явная неправда, потому что не используется специфика конкретного элемента.

Другая версия, которая мне приходит в голову, что собственное значение только $0$, потому что $E$ должен переводить старший вектор в $0$ (из общей теории, пусть $\mathfrak{g} = \mathfrak{n}_- \oplus \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{n}_+$ и $\xi$ -- старший вектор, тогда $\forall A \in \mathfrak{n}_+\colon A\xi = 0$).

Цитата:

Найдите все собственные значения элемента универсальной обёртывающей алгебры$\sum\limits_{i,j=1}^3 E_{ij} E_{ji} \in U(\mathfrak{gl}_3)$ в тензорном квадрате тавтологического представления $\mathbb{C}^3 \otimes \mathbb{C}^3$.

Аналогично предыдущей, мне не очень понятно, как в принципе такие задачи следует решать.

[Xaositect]

1. Рассмотрите базис из произведений весовых векторов, они будут весовыми.
2. Распишите подробно, как действует $EFH$ на весовых векторах (не только на старшем)
3. Тут вообще можно явно написать действие этого элемента.

[s.n.s.]

2. $EFH = (C + \ldots)H$, где $C$ - оператор Казимира, а $\ldots$ содержит только степени $H$.