Загадочная случайная величина!

[NL0]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться!

Случайная величина $X\sim [-1;4]$. Найдите функцию распределения $F(y)$, если $Y=X^2$

Я понимаю, что можно посчитать плотность преобразования случайной величины по формуле

$f_Y(y)=f_X(h(y))\cdot |h'(y)|$, где $x=h(y)=g^{-1}(y)$.

Меня в первую очередь смущает то, что здесь разные обратные функции на $[-1;0]$ (там $h(y)=-{\sqrt{y}}$).

На отрезке $[0;4]$ обратная функция будет $h(y)={\sqrt{y}}$. Но это не повлияет на формулу преобразования.

Ясно, что $f_Y(y)=\dfrac{1}{10\sqrt{y}}$.

Тогда функция распределения будет равна нулю при $y\leqslant 0$, при $0<y\le 16$ будет равна $F(y)=\displaystyle\int_0^y\dfrac{1}{10\sqrt{t}}\;dt=0,2\sqrt{y}$, при $y\le 16$ будет $F(y)=1$.

Но тут получается, что $\displaystyle\lim_{y\to 16-0}F(y)=0,8\ne \displaystyle\lim_{y\to 16+0}F(y)=1$, может ли быть разрыв или я что-то делаю не так?

Если есть глюки в арифметике, простите, пожалуйста, сегодня был трудный день*

[Otta]

Оставьте плотности в покое. Начните с поиска функции распределения новой случайной величины.

[NL0]

Otta в сообщении #1178760 писал(а):

Оставьте плотности в покое. Начните с поиска функции распределения новой случайной величины.

Хорошо, спасибо!

$F_Y(y)=\mathbb{P}(Y<y)=\mathbb{P}(X^2<y)=\mathbb{P}(-\sqrt{y}<X<\sqrt{y})$

Но дальше как -- пока что не знаю

-- 20.12.2016, 23:52 --

Ясно лишь, что $\mathbb{P}(x<\sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})$

Может, конечно, должно быть так

$$\mathbb{P}(-\sqrt{y}<X<\sqrt{y})=\mathbb{P}(X<\sqrt{y})\cdot \mathbb{P}(X>-\sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})\cdot (1-F_X(-\sqrt{y}))$$

[Grabovskiy]

NL0 в сообщении #1178755 писал(а):

$f_Y(y)=f_X(h(y))\cdot |h'(y)|$, где $x=h(y)=g^{-1}(y)$.

Меня в первую очередь смущает то, что здесь разные обратные функции на $[-1;0]$ (там $h(y)=-{\sqrt{y}}$).

Можно вывести подобную формулу для немонотонных функций -- появится сумма (и даже в случае векторов можно вывести -- тогда появится якобиан). Нужно разбить на участки монотонности.

[Brukvalub]

NL0, вот если с $9.00$ до $17.00$ я проверил $100$ контрольных работ, а с $9.00$ до $13.00$ я проверил $44$ контрольные работы, то сколько работ я проверил с $13.00 $ до $17.00$ ?

[NL0]

Brukvalub в сообщении #1178797 писал(а):

NL0, вот если с $9.00$ до $17.00$ я проверил $100$ контрольных работ, а с $9.00$ до $13.00$ я проверил $44$ контрольные работы, то сколько работ я проверил с $13.00 $ до $17.00$ ?

56

$$\mathbb{P}(-\sqrt{y}<X<\sqrt{y})=\mathbb{P}(X<\sqrt{y})+ \mathbb{P}(X>-\sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})+ 1-F_X(-\sqrt{y})$$

Правильно ли так?

-- 21.12.2016, 01:11 --

Grabovskiy в сообщении #1178792 писал(а):

Можно вывести подобную формулу для немонотонных функций -- появится сумма (и даже в случае векторов можно вывести -- тогда появится якобиан). Нужно разбить на участки монотонности.

Это имеется ввиду разбить функцию распределения на сумму?

[Brukvalub]

NL0 в сообщении #1178809 писал(а):

Правильно ли так?

Нет.

[Aritaborian]

Brukvalub, у вас в МГУ все часы от минут точками отделяют?

[NL0]

А в какую сторону думать, подскажите, пожалуйста!

[arseniiv]

$\Prob(A\cap B) = \Prob(A\mid B)\Prob(B)$, а не $\Prob(A)\Prob(B)$ и уж тем более не $\Prob(A) + \Prob(B)$. Пусть $A = \{X<\sqrt y\}$, $B = \{-\sqrt y<X\}$, найдите $\Prob(A\mid B)$.

[Otta]

Зачем так сложно? Должно быть совершенно понятно, чему равна вероятность $P\{a<X\le b\}$ и как ее выразить что через плотность, если та существует, что через функцию распределения. Я могу еще два слова сказать, но это будет прямая подсказка. Определение задействуйте, что еще.

[NL0]

Просто получается так, что $\mathbb{P}(-\sqrt{y}<X<\sqrt{y})=\displaystyle\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}0,2dt=0,4\sqrt{y}$, но как-то не может этому равна функция распределения?

Насчет условной вероятности думаю пока что.

-- 21.12.2016, 03:00 --

arseniiv в сообщении #1178820 писал(а):

$\Prob(A\cap B) = \Prob(A\mid B)\Prob(B)$, а не $\Prob(A)\Prob(B)$ и уж тем более не $\Prob(A) + \Prob(B)$. Пусть $A = \{X<\sqrt y\}$, $B = \{-\sqrt y<X\}$, найдите $\Prob(A\mid B)$.

$$\Prob(A\mid B)=\dfrac{\Prob(A\cap B)}{\Prob{B}}=\dfrac{\displaystyle\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}0,2dt}{\displaystyle\int_{-\sqrt{y}}^{4}0,2dt}=\dfrac{2\sqrt{y}}{0,8+0,2\sqrt{y}}$$

Но вот только зачем это было искать, вот что пока не понимаю....

[Someone]

Между прочим, вероятность попадания случайной величины в заданный промежуток (в случае непрерывной функции распределения) находится одним арифметическим действием. Проще, вроде бы, уже некуда.

[NL0]

Ой, что-то я по-моему зверски туплю))) Кажется, должно быть так:

$$\mathbb{P}(-\sqrt{y}<X<\sqrt{y})=\mathbb{P}(X<\sqrt{y})-\mathbb{P}(-\sqrt{y}<X)=F_X(\sqrt{y})-(1-F_X(-\sqrt{y}))=F_X(-\sqrt{y})+F_X(\sqrt{y})-1$$

Правильно ли?

[arseniiv]

NL0 в сообщении #1178838 писал(а):

Насчет условной вероятности думаю пока что.

Не, не думайте, это я ерунду написал, забыв про известность плотности.

NL0 в сообщении #1178838 писал(а):

но как-то не может этому равна функция распределения?

Не забывайте, что плотность равна $0{,}2$ только на $[-1;4]$.

NL0 в сообщении #1178844 писал(а):

Правильно ли?

И не вычитание тоже.