2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическая задача на экстремум
Сообщение19.12.2016, 16:09 


19/12/16
5
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста с задачкой.
Задание: через точку B, лежащую внутри данного угла A провести прямую так, чтобы она отсекала от угла треугольник наименьшей площади.
Задачу надо решить именно с применением производной, не аналитически. Моя попытка решения:
Расположим систему координат так, чтобы угол $A$ выходил из начала координат. Координаты точки $B$ возьмем как $(x_0,y_0)$. Уравнение прямой, проходящей через эту точку и пересекающей две образующие угла в некоторых точках $C$ и $D$, имеет вид: $y-y_0 = k(x-x_0)$, где $k$ - неизвестный угловой коэффициент. Уравнение верхней образующей угла имеет вид: $y = \tg A\cdot x$. Уравнение нижней образующей: $y = 0$.
Найдем точку пересечения $C$: $\tg A \cdot x-y_0=k\cdot x-k\cdot x_0$, откуда $x = $ $\frac{y_0-k \cdot x_0}{\tg A - k}$ . Обозначим это как $x_1$ - координаты по $OX$ точки $C$. Тогда $ y_1 =$ $\frac{\tg A \cdot (y_0-k \cdot x_0)}{\tg A - k}$.
Найдем точку пересечения $D$: $0-y_0 = k\cdot x-k\cdot x_0$, откуда $x =  - $ $\frac{y_0-k \cdot x_0}{k}$, обозначим это $x_2$ - координата по $OX$ точки $D$, $y_2 = 0$.
Тогда площадь через числовые значения проекций радиус-векторов с найденными координатами примет вид: $S = - $ $\frac{1}{2} $ $\cdot$ $\frac{(y_0 - k\cdot x_0)\cdot (\tg A\cdot y_0 - \tg A\cdot x_0\cdot k)}{k\cdot (\tg A - k)}$.
Ну а теперь самое интересное, найдя производную от этой штуки по $ k$, получим дробь, в числителе которой будет квадратное уравнение относительно $ k$. У меня уравнение получилось такое: $(\tg A\cdot x_0^2 - 2\cdot x_0 \cdot y_0)\cdot k^2 + 2\cdot y_0^2 \cdot k - \tg A \cdot y_0^2 = 0 $. И проблема в том, что я не знаю, как его решать. Даже знак у дискриминанта непонятно как определять. Вот и возникает вопрос: где я ошибся? Или как решить это уравнение, если все верно. Заранее спасибо.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача на экстремум
Сообщение19.12.2016, 18:49 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
h0las в сообщении #1178340 писал(а):
где я ошибся?

В знаке у $x$. Однако это не повлияет на нули производной (ну подумаешь, площадь отрицательная...).
Производная найдена правильно. Как решать???? Блин, это ж квадратное уравнение - вот и решайте, как надо.

(Оффтоп)

Адын нюанс: в Вашей формуле для площади, в числителе стоит квадрат чего-то (если тангенс вынести). Так что, если бы Вы дифференцировали дробь с учетом этого, в числителе автоматически получилось бы произведение двух множителей. Найти корни - фактически все равно что разложить на множители... А у Вас они - перемноженные....
И теперь надо решать квадратное, с некрасивыми коэф-тами, здоровенным дискриминантом, да еще углядеть надо, что он - точный квадрат..... Но мы, русские, трудностей не боимся, и героически их преодолеваем (создав их, блин, вначале)....


-- 19.12.2016, 21:38 --

Для проверки: геометрически, несложно доказать, что для минимума, отрезок $CD$ делится точкой $B$ пополам.
Это согласуется с Вашим уравнением: если $2y_0 =\tg  A\cdot x_0$, то $k=\infty$ ( уравнение вырождается в линейное, прямая - вертикальна)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.12.2016, 21:42 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Оформите формулы как следует. Чтобы нижние индексы были нижними индексами и проч.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.12.2016, 19:21 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача на экстремум
Сообщение20.12.2016, 19:37 


19/12/16
5
Цитата:
Как решать???? Блин, это ж квадратное уравнение - вот и решайте, как надо.

Прошу прощения, действительно не заметил, что там так все хорошо извлекается. Спасибо!
Вот только появился еще один вопрос. Корни-то нашлись: $k_1$ $=$ $\frac{y_0}{x_0}$ и $k_2$ $ = $ $\frac{\tg A \cdot y_0}{2y_0-t\cdotx_0}$. И вот получается, что когда мы смотрим эти значения $\pm$ что-то в производной или просто подставляем во вторую(но там еще хуже), то непонятно, какой она имеет знак. Получается, что выражение зависит от $\tg A$, а какой у нас угол $A$ - не сказано. Острый он или какой, от этого же знак у тангенса зависит. И вообще там различные действия с $y_0, x_0$ - как считать, какое из них меньше/больше? Или, может быть, можно вместо чего-то подставить конкретные значения? Не совсем понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача на экстремум
Сообщение20.12.2016, 21:03 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Если выбрать корень $k_1$, то мы получим прямую, проходящую через точку $(x_0, y_0)$, с угловым коэффициентом $k_1=\dfrac {y_0}{x_0}$, но это прямая $AB$, поэтому оставляем корень $k_2$, (который написан с ошибкой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача на экстремум
Сообщение20.12.2016, 21:49 


19/12/16
5
Цитата:
Если выбрать корень $k_1$, то мы получим прямую, проходящую через точку $(x_0, y_0)$, с угловым коэффициентом $k_1=\dfrac {y_0}{x_0}$, но это прямая $AB$, поэтому оставляем корень $k_2$, (который написан с ошибкой).

Мда, что-то и здесь совсем не подумал, действительно же. А в корне опечатка просто. ;) Спасибо вам большое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group