Как определить знак дифференциала при 3х переменных

[ivandrago1]

Допустим наш дифференциал $d^2L$ вид:

$d^2L = 2(dy)^2 + 6(dz)^2 + 4(dxdy) + 6(dxdz) + 12(dydz)$

Дифференциалы связаны следующим уравнением:

$dx + 2dy + 3dz = 0$

Если выразить любой из них, например $dx$, то все равно останется неопределенность вида $-2dy-3dz$ при замене в $d^2L$

Что нужно делать в данном случае?

Полный текст задачи:

Найти условный экстремум $u=xy^2z^3$ при уравнении связи $x+2y+3z=6 (x>0,y>0,z>0)$

Составил функцию Лагранжа и нашел дифференциал 2го порядка, но вот определить его знак не могу...

[Brukvalub]

ivandrago1 в сообщении #1177870 писал(а):

Что нужно делать в данном случае?

Вы замену-то сделайте и напишите сюда результат.

[ivandrago1]

Brukvalub в сообщении #1177883 писал(а):

ivandrago1 в сообщении #1177870 писал(а):

Что нужно делать в данном случае?

Вы замену-то сделайте и напишите сюда результат.

После замены $dx$ на $-2dy-3dz$ получим:

$-6(dy)^2 - 12(dz)^2 - 24dydz$

Отсюда $-6(dy)^2 - 12(dz)^2$ можно записать как $-(6(dy)^2 + 12(dz)^2)$ и понять, что оно всегда имеет отрицательный знак, а вот что делать с $-24(dydz)$ ?

[Brukvalub]

ivandrago1 в сообщении #1177893 писал(а):

а вот что делать

Про критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы слыхали? В крайнем случае, так выделите полный квадрат, чтобы он полностью "съел"$-24(dydz)$ и посмотрите на результат.

[ivandrago1]

Brukvalub в сообщении #1177895 писал(а):

ivandrago1 в сообщении #1177893 писал(а):

а вот что делать

Про критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы слыхали? В крайнем случае, так выделите полный квадрат, чтобы он полностью "съел"$-24(dydz)$ и посмотрите на результат.

1. Разве можно использовать критерий Сильвестра при зависимых дифференциалах?
2. Если выделить полный квадрат, то получим: $-6(dy+2dz)^2+12(dz)^2$. Не уверен, что отсюда можно точно судить о знаке дифференциала

[Brukvalub]

ivandrago1 в сообщении #1177911 писал(а):

Разве можно использовать критерий Сильвестра при зависимых дифференциалах?

А откуда критерий Сильвестра узнАет, что дифференциалы зависимы (если вы ему, конечно, не проболтаетесь)? Да и зависимы ли эти дифференциалы?

ivandrago1 в сообщении #1177911 писал(а):

Если выделить полный квадрат, то получим: $-6(dy+2dz)^2+12(dz)^2$. Не уверен, что отсюда можно точно судить о знаке дифференциала

Попробуйте посудить о знакопеременности дифференциала.