2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два уравнения 3 степени
Сообщение06.12.2016, 12:51 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Докажите, что при любых рациональных $r$ рациональные решения $x,y$ имеют уравнения:
$1.$ $\dfrac{x^3+y^3}{1+x^2+y^2}=r$
$2.$ $\dfrac{yx^2+xy^2}{1+x^2+y^2}=r$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два уравнения 3 степени
Сообщение16.12.2016, 22:50 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Решение первого уравнения можно даже угадать. Например, $x=r+1/2, y=r-1/2$.
Со вторым чуть сложнее.
Кроме того, в первом и втором уравнениях в знаменателях можно заменить $1$ на $k^2$, где $k$ произвольное рациональное число.
Решение первого тогда, например, $x=r+k/2, y=r-k/2$.
Второе в этом случае также имеет рациональные решения $x,y$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group