2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Треугольник Фибоначчи
Сообщение23.11.2016, 22:20 


21/11/12
324
$$\[ \setcounter{MaxMatrixCols}{25}
\begin{matrix}
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
 &  &  &  &  &  &  &  &  & 1 &  & 1 &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  &  & 1 &  & 1 &  & 1 &  &  &  &  &  &  &  & \\
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  & 1 &  & 2 &  & 2 &  & 1 &  &  &  &  &  &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
 &  &  &  &  &  & 1 &  & 3 &  & 6 &  & 3 &  & 1 &  &  &  &  &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
 &  &  &  &  & 1 &  & 5 &  & 15 &  & 15 &  & 5 &  & 1 &  &  &  &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
 &  &  &  & 1 &  & 8 &  & 40 &  & 60 &  & 40 &  & 8 &  & 1 &  &  &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
 &  &  & 1 &  & 13 &  & 104 &  & 260 &  & 260 &  & 104 &  & 13 &  & 1 &  &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
 &  & 1 &  & 21 &  & 273 &  & 1092 &  & 1820 &  & 1092 &  & 273 &  & 21 &  & 1 &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
 & 1 &  & 34 &  & 714 &  & 4641 &  & 12376 &  & 12376 &  & 4641 &  & 714 &  & 34 &  & 1 
\end{matrix}
\]$$

Элементы треугольника вычисляются по формуле $C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, в которой факториалы заменены на произведения соответствующего количества начальных членов ряда Фибоначчи (нулевое произведение считаем $=1$). Элементы $(n+2)$-ой строки $(\pm )$ задают рекуррентное правило последовательности $n$-ых степеней Фибоначчи:
$F^2_{n+1}=2F^2_n+2F^2_{n-1}-F^2_{n-2}$ (4-я строка)
$F^3_{n+1}=3F^3_n+6F^3_{n-1}-3F^3_{n-2}-F^3_{n-3}$ (5-я строка)
$F^4_{n+1}=5F^4_n+15F^4_{n-1}-15F^4_{n-2}-5F^4_{n-3}+F^4_{n-4}$ (6-я строка) и т.д.
Это связано с темой http://dxdy.ru/topic103297.html (в конце), но вроде бы подобный целочисленный треугольник можно смастерить из любой функции, в которой из $a\mid b$ следует $f_a\mid f_b$. Например, из последовательности сумм степенного ряда. Интересно, какие тут возможны интерпретации, и нет ли иных способов построения (как в Паскале)? Последовательности, образованные диагоналями имеются в OEIS. Может это где-то описано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Фибоначчи
Сообщение24.11.2016, 02:12 


21/11/12
324
Upd
$n$ в примерах со степенями Фибоначчи не связано, конечно, с номером строки. Надо бы так:
$F^4_{i+1}=5F^4_i+15F^4_{i-1}-15F^4_{i-2}-5F^4_{i-3}+F^4_{i-4}$ (6-я строка) и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Фибоначчи
Сообщение25.11.2016, 00:56 


21/11/12
324
Upd 25.11
Можно доказать целочисленность подобного треугольника для последовательности сумм натурального ряда $t_i$. Обозначим $C^k_n\left( t_i\right)$ элемент на пересечении $n$-ой строки и $k$-го столбца. $$\prod_{i=1}^{n}t_i=\frac{1\cdot 2}{2}\cdot \frac{2\cdot 3}{2}\cdot \frac{3\cdot 4}{2}\cdot ...\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n!(n+1)!}{2^n}$$ $$C^k_n\left( t_i\right)=\frac{\prod_{i=1}^{n}t_i}{\prod_{i=1}^{k}t_i\prod_{i=1}^{n-k}t_i}=\frac{n!(n+1)!/2^n}{k!(k+1)!/2^k(n-k)!(n-k+1)!/2^{n-k}}=\frac{n!(n+1)!}{k!(k+1)!(n-k)!(n-k+1)!}$$ Группируя множители различными способами, получаем $$C^k_n\left( t_i\right)=\frac{C^k_nC^{k+1}_{n+1}}{n-k+1}=\frac{C^k_{n+1}C^{k+1}_n}{n-k}$$ Дробь в левой части выражения $\dfrac{n-k+1}{n-k}=\dfrac{C^k_nC^{k+1}_{n+1}}{C^k_{n+1}C^{k+1}_n}$ несократима, следовательно $n-k+1\mid C^k_nC^{k+1}_{n+1};\ n-k\mid C^k_{n+1}C^{k+1}_n$, и $C^k_n\left( t_i\right)$ - всегда целое число. Для многоугольных чисел в общем случае это не верно. Последовательности диагоналей также имеются в OEIS, но "физический" смысл строк для меня загадка. Такой "треугольный треугольник".

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Фибоначчи
Сообщение25.11.2016, 20:24 


21/11/12
324
Upd 25.11
Это, оказывается, разновидность "каталонского треугольника" A001263. Первый тоже есть в OEIS: A010048 Triangle of Fibonomial coefficients.
Буду признателен за русские ссылки по теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Фибоначчи
Сообщение25.11.2016, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3311
Andrey A в сообщении #1171692 писал(а):
Буду признателен за русские ссылки по теме.
По Вашей ссылке на первый треугольник в литературе указан Кнут:
Цитата:
D. E. Knuth, The Art of Computer Programming. Addison-Wesley, Reading, MA, Vol. 1, p. 84 and 492.
Логично предположить, что что-то полезное можно найти в переводе этого тома на русский.

-- 25.11.2016, 20:41 --

В литературе по другой последовательности есть Риордан. Он легко гуглится на русском.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Фибоначчи
Сообщение25.11.2016, 20:51 


21/11/12
324
Ага. Спасибо, поищу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Фибоначчи
Сообщение09.12.2016, 13:06 
Аватара пользователя


01/06/12
738
Adelaide, Australia
Вот может поможет:

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonomial_coefficient
http://mathworld.wolfram.com/FibonomialCoefficient.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Фибоначчи
Сообщение09.12.2016, 20:35 


21/11/12
324
В английской вики есть-таки построение "фибонома" без факториалов, а я туда не заглядывал. Спасибо.
Еще кое-что по горячим следам нашлось: http://www.mccme.ru/~smirnoff/papers/qbinom3.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group