2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функционально-вероятностное уравнение
Сообщение02.12.2016, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Хотелось бы доказать хотя бы существование или не существование такой функции распределения $F$ на $(0,+\infty)$, что для всех $t>0$ выполнено равенство
$$\int_0^{+\infty} (1-tx)_+\,dF(x)=\left(\int_0^{+\infty}e^{-tx}\,dF(x)\right)^A,$$
где $A>1$. Пока найдены $F$, которые приближают это равенство асимптотически, при $t\to 0$ и $t\to +\infty$, но просто соединить их, конечно, не дает нужного результата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционально-вероятностное уравнение
Сообщение03.12.2016, 00:12 


16/02/10
258
Например, функция Хевисайда подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционально-вероятностное уравнение
Сообщение03.12.2016, 08:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Нет, речь конечно идет о нетривиальной функции (не соответствующей тождественному нулю).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционально-вероятностное уравнение
Сообщение03.12.2016, 11:30 


16/02/10
258
В таком случае у меня для Вас неутешительные новости: других решений здесь очевидно нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционально-вероятностное уравнение
Сообщение03.12.2016, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Отрицательный результат - тоже результат. Но мне пока не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционально-вероятностное уравнение
Сообщение03.12.2016, 19:50 


16/02/10
258
Очевидное неравенство для подынтегральных функций приводит к очевидному неравенству для интегралов, которое только усиливается от возведения в степень одного из них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционально-вероятностное уравнение
Сообщение03.12.2016, 21:17 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Чисто интересно, а для $A=1$ получается что хорошее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционально-вероятностное уравнение
Сообщение03.12.2016, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Без возведения в степень интеграл справа всегда больше интеграла слева, но поскольку они оба меньше единицы, то возведение в степень правого не усиливает неравенство, а сглаживает. То есть для фиксированных $F$ и $t>0$ можно всегда подобрать $A>1$, при котором равенство выполняется. Но нужно наоборот, при фиксированном $A$ найти $F$, чтобы равенство выполнялось при всех $t>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционально-вероятностное уравнение
Сообщение05.12.2016, 13:58 


16/02/10
258
alisa-lebovski в сообщении #1173993 писал(а):
Без возведения в степень интеграл справа всегда больше интеграла слева, но поскольку они оба меньше единицы, то возведение в степень правого не усиливает неравенство, а сглаживает. То есть для фиксированных $F$ и $t>0$ можно всегда подобрать $A>1$, при котором равенство выполняется. Но нужно наоборот, при фиксированном $A$ найти $F$, чтобы равенство выполнялось при всех $t>0$.

Вы правы, я поторопился с очевидностью, за что прошу прощения. Однако, я по прежнему уверен в том, что других решений нет. Имеются две монотонные кривые, полученые интегральными преобразованиями функции плотности. Ядра этих преобразований совершенно разные. С какой стати найдется такая функция плотности, отличная от дельта-функции, что одну кривую можно перевести в другую возведением в степень? По крайней мере, нужно потребовать, чтобы показатель степени зависел от времени.
Я переформулировал вашу задачу в более удобном виде, обозначив $z=\frac{1}{t}$ и проинтегрировав по частям:
$$\frac{1}{z}\int_0^z{F(x)dx}=\left( \frac{1}{z}\int_0^{\infty}{\exp\left(-\frac{x}{z}\right)F(x)dx} \right)^A.   (1) $$
К правой части можно применить вторую теорему о среднем: $\int_0^{\infty}{\exp\left(-\frac{x}{z}\right)F(x)dx} =\int_0^{X(z)}{F(x)dx}$, где $X(z)$ некоторая монотонная функция, $X(z)>z $, $\frac{X(z)}{z}\to 1$ при $z\to\infty$. Вид функции $X(z)$ зависит от $F(x)$. Тогда, обозначив $G(z)=\int_0^z{F(x)dx}$ за искомую функцию, можно записать функциональное уравнение
$$\frac{1}{z}G(z)=\left(\frac{1}{z}G(X(z)) \right)^A.  (2)$$
Функция $G(z)$ как интеграл функции распределения должна быть монотонна, выпукла и иметь наклонную асимптоту вида $z-c$. Теперь осталось, предположив для любой непрерывной функции распределения $F(x)$, что равенство в форме (1) или (2) выполнено для некоторого $z_1$ , доказать, что найдется $z_2$, где оно нарушено. Будет время, постараюсь довести до конца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционально-вероятностное уравнение
Сообщение05.12.2016, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
VPro в сообщении #1174272 писал(а):
Функция $G(z)$ как интеграл функции распределения должна быть монотонна, выпукла и иметь наклонную асимптоту вида $z-c$.

Спасибо за новый подход, попробую. Но здесь все еще хуже: такая асимптота будет в предположении конечного математического ожидания $c$, а здесь это исключено, выяснилось из асимптотики обеих частей при $t\to 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционально-вероятностное уравнение
Сообщение07.12.2016, 13:35 


16/02/10
258
Вернемся к уравнению (1)
VPro в сообщении #1174272 писал(а):
... обозначив $z=\frac{1}{t}$ и проинтегрировав по частям:
$$\frac{1}{z}\int_0^z{F(x)dx}=\left( \frac{1}{z}\int_0^{\infty}{\exp\left(-\frac{x}{z}\right)F(x)dx} \right)^A.   (1) $$

Введем обозначение $G(z)=\int_0^z{F(x)dx}$ и проинтегрируем по частям интеграл в правой части. Получим уравнение
$$\frac{G(z)}{z}=\left( \frac{1}{z^2}\int_0^{\infty}{x\exp\left(-\frac{x}{z}\right)\frac{G(x)}{x}dx} \right)^A. $$
Это уравнение имеет "тривиальное" решение $G(z)=z$ при любом $A$. Функция $\frac{G(z)}{z}$ принадлежит пространству распределений и правую часть можно рассматривать как оператор в этом пространстве, а само уравнение задает неподвижную точку для этого оператора.
Осталось взять какую-нибудь метрику в пространстве распределений и доказать, что рассматриваемый оператор будет сжимающим. Тогда "тривиальное" решение будет единственной неподвижной точкой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group