2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по геометрии
Сообщение03.12.2016, 16:41 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Из некоторой точки $P$ опущены перпендикуляры $PA_1$ и $PA_2$ на сторону $BC$ треугольника $ABC$ и на высоту $AA_3$. Аналогично определяются точки $B_1$, $B_2$ и $C_1$, $C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ пересекаются в одной точке или параллельны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение03.12.2016, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
Доказательство для прямоугольного треугольника.
Пусть угол $C$ прямой. Очевидно, что прямые $A_1A_2$ и $B_1B_2$ совпадают.
При любом положении прямой $C_1C_2$ требование задачи выполнено.
Ну на ночь только такое в голову пришло :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение04.12.2016, 01:45 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Пусть $A_3$ - основание высоты из $A$. Чет-к $PA_1A_3A_2 $ - прямоугольник, и его диагонали точкой пересечения $O_A$делятся пополам. Сделаем гомотетию с коэф-том 2 и центром в $P$: центр прямоугольника $O_A$ перейдет в его вершину $A_3$, а диагональ $A_1A_2$ - в прямую, симметричную $A_3P$ относительно высоты $AA_3$. Т.о., достаточно показать, что прямые, соединяющие точку $P$ с основаниями высот, после отражения относительно соответствующих высот, конкурентны. Но высоты тр-ка $ABC$ являются биссектрисами для ортотреугольника $A_3B_3C_3$. Так что все получилось: отраженные прямые пересекаются в точке, (изогонально) сопряженной точке $P$ относительно отротреугольника

-- 04.12.2016, 03:47 --

эээ, надо еще ее вернуть на место обратной гомотетией - с к-том $\frac{1}{2}$ - там будут пересекаться исходные прямые

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение04.12.2016, 17:25 


30/03/08
196
St.Peterburg
Эту задачу можно обобщить.

Изображение

$(PP_{A_1} ||AN \ , \ PP_{A_2}||BC) \ , \  (PP_{B_1} ||BN \ ,\ PP_{B_2}||AC) \ , \ (PP_{C_1} ||CN \ ,\ PP_{C_2}||AB)$

Докажите, что прямые $P_{A_1}P_{A_2}$, $P_{B_1}P_{B_2}{$ и $P_{C_1}P_{C_2}$ пересекаются в одной точке или параллельны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение04.12.2016, 19:45 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
В общей задаче есть токо параллельность - аффинным преобразованием сводим ее к частной....

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение06.12.2016, 17:43 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
DeBill в сообщении #1174025 писал(а):
Пусть $A_3$ - основание высоты из $A$. Чет-к $PA_1A_3A_2 $ - прямоугольник, и его диагонали точкой пересечения $O_A$делятся пополам. Сделаем гомотетию с коэф-том 2 и центром в $P$: центр прямоугольника $O_A$ перейдет в его вершину $A_3$, а диагональ $A_1A_2$ - в прямую, симметричную $A_3P$ относительно высоты $AA_3$. Т.о., достаточно показать, что прямые, соединяющие точку $P$ с основаниями высот, после отражения относительно соответствующих высот, конкурентны. Но высоты тр-ка $ABC$ являются биссектрисами для ортотреугольника $A_3B_3C_3$. Так что все получилось: отраженные прямые пересекаются в точке, (изогонально) сопряженной точке $P$ относительно отротреугольника

-- 04.12.2016, 03:47 --

эээ, надо еще ее вернуть на место обратной гомотетией - с к-том $\frac{1}{2}$ - там будут пересекаться исходные прямые

Я именно так и решил

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group