2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача о последовательности полиномов
Сообщение07.11.2016, 21:42 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
Уважаемые форумчане,
есть такая задача:

Найти семейство полиномов $P_k(l,m,n),\ k=0,1,2,...$ симметричных относительно $l,m,n$, удовлетворяющих следующим условиям:
При $k=0$ $P_0(l,m,n)=1.$
При $k>0$ полином $P_k(l,m,n)$ связан с предыдущими полиномами следующими условиями:

$$P_k(k-1,m,n)=(m-n)^2P_{k-1}(k,m,n),$$
$$P_k(k-2,m,n)=((m-n)^2-1)^2P_{k-2}(k,m,n),$$
$$P_k(k-3,m,n)=((m-n)^2-4)^2(m-n)^2P_{k-3}(k,m,n),$$
$$P_k(k-4,m,n)=((m-n)^2-9)^2((m-n)^2-1)^2P_{k-4}(k,m,n),$$
...
$$P_k(1,m,n)=((m-n)^2-(k-2)^2)^2((m-n)^2-(k-4)^2)^2...P_1(k,m,n),$$
$$P_k(0,m,n)=((m-n)^2-(k-1)^2)^2((m-n)^2-(k-3)^2)^2...P_0(k,m,n).$$

Найти $P_k(l,m,n).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о последовательности полиномов
Сообщение14.11.2016, 07:27 


21/05/16
4292
Аделаида
Asalex в сообщении #1166913 писал(а):
Найти семейство полиномов $P_k(l,m,n),\ k=0,1,2,...$ симметричных относительно $l,m,n$, удовлетворяющих следующим условиям:
При $k=0$ $P_0(l,m,n)=1.$
При $k>0$ полином $P_k(l,m,n)$ связан с предыдущими полиномами следующими условиями:

$$P_k(k-1,m,n)=(m-n)^2P_{k-1}(k,m,n),$$
$$P_k(k-2,m,n)=((m-n)^2-1)^2P_{k-2}(k,m,n),$$
$$P_k(k-3,m,n)=((m-n)^2-4)^2(m-n)^2P_{k-3}(k,m,n),$$
$$P_k(k-4,m,n)=((m-n)^2-9)^2((m-n)^2-1)^2P_{k-4}(k,m,n),$$
...
$$P_k(1,m,n)=((m-n)^2-(k-2)^2)^2((m-n)^2-(k-4)^2)^2...P_1(k,m,n),$$
$$P_k(0,m,n)=((m-n)^2-(k-1)^2)^2((m-n)^2-(k-3)^2)^2...P_0(k,m,n).$$

Найти $P_k(l,m,n).$

Из приведеных свойств следует:
$$P_k(l,m,n)=((m-n)^2-(k-l-1)^2)^2((m-n)^2-(k-l-3)^2)^2...P_l(k,m,n)$$
$$P_l(k,m,n)=((m-n)^2-(l-k-1)^2)^2((m-n)^2-(l-k-3)^2)^2...P_k(l,m,n)$$
Продолжение потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о последовательности полиномов
Сообщение15.11.2016, 09:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск

(Оффтоп)

kotenok gav, Я пока знаю всего пару причин, которые могут побудить полное цитирование предыдущего сообщения:
1. Есть подозрение, что автор сообщения оставит Вас в дураках, отредактировав его.
2. Сообщение вместе с Вашим ответом предположительно достойно помещения в цитатник, но самому Вам это сделать стеснительно - вот Вы и облегчаете труды тому, кто его туда скопирует.

Если Вы имеете третью причину, не сочтите за труд сообщить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о последовательности полиномов
Сообщение15.11.2016, 10:17 


21/05/16
4292
Аделаида

(Оффтоп)

bot
Третья причина: Я пишу на телефоне и поэтому мне очень трудно писать формулы в теге math и поэтому я скопировал сообщение, и чуть изменил формулы.
P. S. Похоже в девятой строке сообщения ТС последняя вторая степень на самом деле четвертая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о последовательности полиномов
Сообщение15.11.2016, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск

(Оффтоп)

Использование цитаты в качестве шаблона - обычный приём. А телефон не дозволяет удалить цитату после использования?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о последовательности полиномов
Сообщение17.11.2016, 18:26 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
kotenok gav в сообщении #1169183 писал(а):

(Оффтоп)

bot
P. S. Похоже в девятой строке сообщения ТС последняя вторая степень на самом деле четвертая.

Где должна быть четвертая степень? И что такое ТС?:)
В том что написано вроде все верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о последовательности полиномов
Сообщение17.11.2016, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9952
Asalex в сообщении #1169732 писал(а):
И что такое ТС?:)
(Т)опик (С)тартер

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о последовательности полиномов
Сообщение18.11.2016, 06:35 


21/05/16
4292
Аделаида
Asalex в сообщении #1169732 писал(а):
В том что написано вроде все верно.

Ну тогда обьясните что идёт вместо многоточий в ваших последних двух формулах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о последовательности полиномов
Сообщение20.11.2016, 02:45 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
kotenok gav в сообщении #1169810 писал(а):
Ну тогда обьясните что идёт вместо многоточий в ваших последних двух формулах.


Те соотношения можно в таком виде переписать (тогда не возникает лишних сложностей с тем, участвует ли в произведении множитель $(m-n)^2$ или нет):

$$P_k(k-1,m,n)=(m-n)^2P_{k-1}(k,m,n),$$
$$P_k(k-2,m,n)=(m-n-1)^2 (m-n+1)^2 P_{k-2}(k,m,n),$$
$$P_k(k-3,m,n)=(m-n-2)^2(m-n)^2 (m-n+2)^2 P_{k-3}(k,m,n),$$
$$P_k(k-4,m,n)=(m-n-3)^2(m-n-1)^2(m-n+1)^2(m-n+3)^2P_{k-4}(k,m,n),$$
...
$$P_k(1,m,n)=(m-n-k+2)^2 (m-n-k+4)^2... (m-n+k-4)^2(m-n+k-2)^2P_1(k,m,n),$$
$$P_k(0,m,n)=(m-n-k+1)^2 (m-n-k+3)^2 ...  (m-n+k-3)^2 (m-n+k-1)^2  P_0(k,m,n).$$

Или, другими словами, для $j=0,1,2,..., k-1$
$$P_k(j,m,n)=(m-n-k+j+1)^2(m-n-k+j+3)^2...(m-n+k-j-3)^2(m-n+k-j-1)^2P_j(k,m,n) = $$
$$=\sum\limits_{l=0}^{k-j-1}(m-n-k+j+1+2l)^2 \quad P_j(k,m,n),$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о последовательности полиномов
Сообщение20.11.2016, 05:53 


21/05/16
4292
Аделаида
Вы уверены что знак суммы? Случайно не произведение?
Решение задачи напишу за компьютером.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о последовательности полиномов
Сообщение21.11.2016, 13:52 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
Извиняюсь, да , знак произведения. Уже не могу поправить там формулу. Должно быть так:
для $j=0,1,2,..., k-1$
$$P_k(j,m,n)=(m-n-k+j+1)^2(m-n-k+j+3)^2...(m-n+k-j-3)^2(m-n+k-j-1)^2P_j(k,m,n) = $$
$$=\prod\limits_{l=0}^{k-j-1}(m-n-k+j+1+2l)^2 \quad P_j(k,m,n),$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о последовательности полиномов
Сообщение03.12.2016, 17:50 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
kotenok gav в сообщении #1170224 писал(а):
Решение задачи напишу за компьютером.

Есть какие-то успехи с решением?)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group