2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение18.05.2016, 02:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21046
Уфа

(Неравенство треугольника)

Dmitriy40 в сообщении #1124261 писал(а):
Ну вот для размерности 2 есть оно самое, неравенство, сформулированное сразу в терминах расстояний (длин сторон).
Но оно и для 1, и для 0 годится. :-) Кажется, вы имели в виду строгое неравенство, а я — нестрогое. Тогда понятно, почему я не понял. Строгое для 1 и 0 даже для различных точек не всегда годится, действительно.

(Ещё кое-что…)

Dmitriy40 предложил упомянуть где-нибудь на форуме то, что я предложил в ЛС. Сомневаюсь, что идея новая, но замечательная точно.
arseniiv писал(а):
Вот вам обобщение метрического пространства, по мотивам вашего поста придумалось:

Множество $M$ вместе с функцией $s\colon M^3\to\mathbb R$ назовём площадическим пространством, если:
1. $s(x, y, z) = 0 \Leftrightarrow x = y\vee y = z\vee z = x$;
2. $s(\vec x) = s(\sigma\vec x)$ для любой перестановки $\sigma\in S_3$;
3. $s(x, y, z) \leqslant s(x, y, w) + s(x, w, z) + s(w, y, z)$ (неравенство тетраэдра).

Аналогично можно ввести объёмическое (4) пространство или, например, такой вырожденный случай:

Множество $M$ вместе с функцией $c\colon M\to\mathbb R$ назовём эээ пространством, если:
1. $c(x) = 0 \Leftrightarrow \mathrm{false}$;
2. тождественно истинная аксиома не считается;
3. $c(x) \leqslant c(w)$ (неравенство отрезка).

Эээ пространств с носителем $M$ получается ровно $M\times(0;+\infty)$, в каждом из них $c$ — положительная константа. Хотя на самом деле ненулевая, но должна быть положительная, просто в других случаях неотрицательность следует из остальных аксиом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение18.05.2016, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14893
Новомосковск
Dmitriy40 в сообщении #1124229 писал(а):
$X_{min}=n-1$, не? Вроде бы всегда можно так расположить следующую точку (расстояния до текущих), чтобы фигура перестала "влезать" в пространство текущей размерности.
Не говоря уже о том, что для четырёх точек расстояния могут казаться таким, что ни в какое евклидово пространство они не влезут. Даже в бесконечномерное.

arseniiv в сообщении #1124243 писал(а):
а если не существует метрического пространства, в котором в нашем наборе точек были бы данные расстояния
Наверное, Вы имели в виду линейное нормированное пространство. Или линейное метрическое? На самом деле любое метрическое пространство можно изометрически вложить в банахово пространство ограниченных функций на достаточно большом множестве (с нормой равномерной сходимости). Откуда уже легко получить, что $n$ точек с произвольно заданными между ними расстояниями всегда можно вложить в $(n-1)$-мерное подпространство.

Alexander4702 в сообщении #1124237 писал(а):
Аффинное, думаю.
В аффинном пространстве нет расстояний. Впрочем, Вам об этом уже написали.

Dmitriy40 в сообщении #1124261 писал(а):
Впрочем, подумав, понял что такого условия быть и не может. В плоском 4-х угольнике можно потянуть одну из точек и выйти из плоскости не меняя никаких длин сторон. Вах.

Хотя, длина диагонали при этом будет меняться, а значит условие всё же можно придумать, но только если есть все пары расстояний, а не только длины сторон.
Есть какая-то формула, выражающая объём тетраэдра через длины его рёбер. Искомое условие, стало быть, состоит в том, что этот объём равен $0$. И, конечно, для больших размерностей этот метод тоже работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение18.05.2016, 16:02 


20/08/14
3245
Россия, Москва
Someone в сообщении #1124341 писал(а):
Есть какая-то формула, выражающая объём тетраэдра через длины его рёбер. Искомое условие, стало быть, состоит в том, что этот объём равен $0$.
Интересно. Только я побоялся называть фигуру с разными расстояниями (и длинами сторон) тетраэдром.
Ну так получается проверкой объёма тетраэдра на $\ne 0$ по этой формуле можно определить необходимость третьей размерности. И видимо аналогично для бОльших размерностей (и для треугольников и отрезков). И тогда это ответ на исходный вопрос, не полный, но зато без перебора вершин.

Someone в сообщении #1124341 писал(а):
Не говоря уже о том, что для четырёх точек расстояния могут казаться таким, что ни в какое евклидово пространство они не влезут. Даже в бесконечномерное.
А не приведёте простенький пример такой штуки? Я смог придумать только если набор из 6-ти расстояний не является согласованным, но такие наборы думаю можно исключить по условию задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение18.05.2016, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21046
Уфа

(Насчёт ещё кое-чего)

Dmitriy40 и ещё один человек (не с форума) сказали мне, что площадическое пространство не взлетит, потому что площадь треугольника может быть нулевой ещё и если все вершины лежат на одной прямой. Чтобы это выразить, от пространства потребуется куда больше, чем от метрического, и выходит скучновато.

Someone в сообщении #1124341 писал(а):
Наверное, Вы имели в виду линейное нормированное пространство. Или линейное метрическое? На самом деле любое метрическое пространство можно изометрически вложить в банахово пространство ограниченных функций на достаточно большом множестве (с нормой равномерной сходимости). Откуда уже легко получить, что $n$ точек с произвольно заданными между ними расстояниями всегда можно вложить в $(n-1)$-мерное подпространство.
Я тогда решил, что число точек конечное, и в этом случае, кажется, всё едино? Фу, сам же ниже согласился. Да, забыл про нормируемость и тождество параллелограмма.

Dmitriy40 в сообщении #1124369 писал(а):
А не приведёте простенький пример такой штуки? Я смог придумать только если набор из 6-ти расстояний не является согласованным, но такие наборы думаю можно исключить по условию задачи.
По идее, надо чтобы нельзя было сделать пространство линейным нормированным — а если можно, то чтобы не выполнялось тождество параллелограмма. Что-то не соображу, как с учётом этого упростить подбор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение18.05.2016, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14893
Новомосковск
Dmitriy40 в сообщении #1124369 писал(а):
А не приведёте простенький пример такой штуки?
Простой пример четырёх точек $A,B,C,D$ (я его уже неоднократно демонстрировал): $AB=AC=BC=BD=CD=1$, $AD=2$.
Dmitriy40 в сообщении #1124369 писал(а):
если набор из 6-ти расстояний не является согласованным
В каком смысле "согласованным"? Расстояния должны удовлетворять неравенству треугольника, больше от них ничего не требуется.

Dmitriy40 в сообщении #1124369 писал(а):
я побоялся называть фигуру с разными расстояниями (и длинами сторон) тетраэдром
"Тетраэдр" означает "четырёхгранник", и больше ничего. Если все рёбра имеют одинаковую длину, то тетраэдр называется правильным.
Dmitriy40 в сообщении #1124369 писал(а):
И видимо аналогично для бОльших размерностей (и для треугольников и отрезков). И тогда это ответ на исходный вопрос,
Определитель Кэли — Менгера.
Dmitriy40 в сообщении #1124369 писал(а):
не полный
В каком смысле?

Для приведённых выше четырёх точек определитель Кэли — Менгера равен $-8$. Можно предположить, что знак "минус" и означает, что эти точки не вкладываются в евклидово пространство. Но доказывать это я не пробовал.
Если взять расстояния $AB=AC=BD=CD=1$, $AD=a$, $BC=b$, то эту четвёрку точек можно вложить в (трёхмерное) евклидово пространство тогда и только тогда, когда $a^2+b^2\leqslant 4$; при этом определитель Кэли — Менгера равен $2a^2b^2(4-a^2-b^2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение18.05.2016, 22:50 


20/08/14
3245
Россия, Москва
Someone в сообщении #1124396 писал(а):
Простой пример четырёх точек $A,B,C,D$ (я его уже неоднократно демонстрировал): $AB=AC=BC=BD=CD=1$, $AD=2$.
Именно похожий пример и я придумал, и назвал его не согласованным, т.к. $AD$ должно быть в интервале $(0, \sqrt{3}]$, а $2$ уже вне допустимого диапазона.

Someone в сообщении #1124396 писал(а):
Dmitriy40 в сообщении #1124369 писал(а):
не полный
В каком смысле?
Не полный ответ в том смысле что по заданному набору расстояний не даёт сразу ответа о минимально необходимой размерности, лишь факт согласованности набора и можно ли понизить размерность на единицу. Т.е. для $n$ точек из всего множества возможных результатов $(\text{фигура невозможна}; 0; ...; n-1)$ для размерности в зависимости от знака выдаст лишь первый и два последних, а ни один из промежуточных выдать не может. Или нулевое значение не различает все значения размерности $(0; n-2)$? Я ведь правильно понял? Но при некоторых наборах расстояний хватит и отрезка прямой (пространства размерности 1 даже для тысяч вершин).
За наводку на определитель спасибо, именно про нечто похожее и спрашивал. Он даже больше информации выдаёт, чем надеялся. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение18.05.2016, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21046
Уфа
Dmitriy40 в сообщении #1124424 писал(а):
Именно похожий пример и я придумал, и назвал его не согласованным, т.к. $AD$ должно быть в интервале $(0, \sqrt{3}]$, а $2$ уже вне допустимого диапазона.
А я поначалу подумал, что несогласованность — это было невыполнение неравенства треугольника. Тут оно требует лишь $AD\in[0;2]$, если остальные расстояния фиксированы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение19.05.2016, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14893
Новомосковск
Dmitriy40 в сообщении #1124424 писал(а):
Именно похожий пример и я придумал, и назвал его не согласованным, т.к. $AD$ должно быть в интервале $(0, \sqrt{3}]$,
Кому оно "должно"? Определение метрики этого не требует. Более того, такие расстояния легко обнаружить буквально на кухне. Купите круглый арбуз, отметьте на нём две диаметрально противоположные точки (пусть это будут $A$ и $D$; назовём их полюсами), а точки $B$ и $C$ возьмём на экваторе, на расстоянии, равном четверти длины этого экватора. Расстояния, естественно, измеряем мерной лентой по поверхности арбуза. Вот Вам и четыре точки с "невозможными" расстояниями.

Dmitriy40 в сообщении #1124424 писал(а):
Не полный ответ в том смысле
Не ленитесь. Возьмите две точки на положительном расстоянии друг от друга. Поищите третью, которая даёт положительную площадь треугольника. Потом поищите четвёртую, которая даёт положительный объём тетраэдра. И так далее. Точку, которую один раз проверили и отвергли, повторно проверять не надо. И в конце концов требуемую размерность определите. Если не окажется вдруг, что заданные точки "не лезут" в евклидово пространство. Как указанные выше четыре точки на поверхности арбуза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение19.05.2016, 00:49 


20/08/14
3245
Россия, Москва
Someone в сообщении #1124432 писал(а):
Определение метрики этого не требует.
Похоже мы с Вами по разному понимаем термин "пространство", Вы ограничиваете любым метрическим, я же автоматически имел в виду более частный вариант - простое для понимания плоское евклидово. :-( Перечитав исходный вопрос понял что Вы более правы, автором задана лишь метрика.

Someone в сообщении #1124432 писал(а):
Не ленитесь.
Да не в лени дело, хотелось уйти от перебора точек. С тем или иным перебором решения-то есть.

В общем спасибо arseniiv и Someone, разъяснили попутно интересные вещи, думаю вопрос
Alexander4702 в сообщении #1124223 писал(а):
Пусть есть некоторый набор точек a_1, a_2, a_n на произвольном пространстве $M$, размерности $X$ . Пусть нам известны расстояния между каждой парой точек $d_1_2, d_1_3...d_1_n...$. Определить минимальную размерность пространства $M$, которая могла бы включать эти точки для произвольного значения n. То есть, найти функцию $X_m_i_n=X_m_i_n(n)$ при каждом сочетании значений $d$.
можно считать решенным? Заодно и с офтопом завязываю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение19.05.2016, 06:27 


15/05/16
28
Dmitriy40 в сообщении #1124444 писал(а):
Someone в сообщении #1124432 писал(а):
Определение метрики этого не требует.
Похоже мы с Вами по разному понимаем термин "пространство", Вы ограничиваете любым метрическим, я же автоматически имел в виду более частный вариант - простое для понимания плоское евклидово. :-( Перечитав исходный вопрос понял что Вы более правы, автором задана лишь метрика.

Someone в сообщении #1124432 писал(а):
Не ленитесь.
Да не в лени дело, хотелось уйти от перебора точек. С тем или иным перебором решения-то есть.

В общем спасибо arseniiv и Someone, разъяснили попутно интересные вещи, думаю вопрос
Alexander4702 в сообщении #1124223 писал(а):
Пусть есть некоторый набор точек a_1, a_2, a_n на произвольном пространстве $M$, размерности $X$ . Пусть нам известны расстояния между каждой парой точек $d_1_2, d_1_3...d_1_n...$. Определить минимальную размерность пространства $M$, которая могла бы включать эти точки для произвольного значения n. То есть, найти функцию $X_m_i_n=X_m_i_n(n)$ при каждом сочетании значений $d$.
можно считать решенным? Заодно и с офтопом завязываю.

Думаю да, это ответ на исходный вопрос, по крайней мере, на его математический вариант в простой форме. И действительно спасибо отписавшимся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение02.12.2016, 13:38 


09/09/15
38
Возвращаясь к изначальной теме топика. Вроде нет возражений, что левая частица в правую перейдет и наоборот? Вот теперь вопрос, а можно ли таким образом будущее с прошлым поменять? То есть, пройти по некоторой траектории так, что-бы вернувшись обнаружить что весь остальной мир живет "в прошлое". Тогда можно будет полетать со скоростью близкой к световой где-то неподалеку пока не настанет нужный момент в прошлом, потом тем же финтом повернуть опять свое время в ту же сторону в которую живет мир.

-- 02.12.2016, 12:44 --

Даже больше, если не подводят мои скромные познания в квантовой механике, можно считать что пространство-время находиться в суперпозиции разных топогий, а значит, каким-то процесом (сталкивая частицы ооочень больших энергий) можно приготовить себе суперпозицию бутылок клейна прямо по курсу :) Причет таких бутылок, что-бы "средняя" топология оставалась тривиальной. Интересует именно теоретическая возможность. Ясное дело что на практике сталкивая частицы не выйдет даже заметить гравитацию, не говоря уже о смене топологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология пространства-времени и частицы
Сообщение02.12.2016, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Теория ничего не знает о том, существует такая теоретическая возможность, или не существует.

И вам это ясно сказали ещё на первой странице.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group